Feladat: Gy.2720 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csorba Péter ,  Dombi Gergely ,  Hajba Tamás ,  Hegedűs Márton ,  Mészáros Mariann ,  Újváry-Menyhárt Mónika ,  Valkó Benedek 
Füzet: 1992/március, 116. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/október: Gy.2720

Minden 1k100 pozitív egészre jelölje ak az 1k+1k+1+...+1100 összeget. Számítsuk ki az
a1+a12+a22+...+a1002
összeg értékét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Végezzük el a négyzetre emeléseket. Ezután a tagokat célszerűen csoportosítva fogjuk összeadni.
1/k2-es tag éppen k darab lesz: a12-ben, a22-ben, ...,ak2,-ben. Ezek összege k1/k2=1/k; majd az összes k-ra nézve 11+12+...+1100=a1.
Tekintsük most a ,,vegyes'' tagokat. Legyen j<i; ekkor 21ji az összes olyan ak2-ben szerepel, amelyben kj. Így ezen tagok összege j2ji=2i. Adott i-hez i-1 darab olyan j szám van, amelyre j<i, ezért a rögzített i-hez tartozó lehetséges 2ji alakú tagok összege (i-1)2i=2-2i. Az összes i-re képezve az összeget,

(2-21)+(2-22)+...+(2-2100)=200-2(11+12+...+1100)=200-2a1
adódik.
Ezek alapján a1+a12+a22+...+a1002=a1+a1+200-2a1=200.
 
 Hajba Tamás (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)