Feladat: Gy.2715 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csorba Zoltán ,  Dombi Gergely ,  Koblinger Egmont ,  Szeredi Tibor ,  Torma Péter 
Füzet: 1992/november, 375 - 376. oldal  PDF file
Témakör(ök): Terület, felszín, Négyszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/szeptember: Gy.2715

Van-e olyan konvex négyszög, amelyet az átlói négy olyan háromszögre osztanak, melyek területe valamilyen sorrendben 1,2,3, illetve 4 területegység?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az ABCD konvex négyszög átlóinak metszéspontját M-mel, az ABC háromszög és az ACD háromszög AC alaphoz tartozó magasságvonalát m1 és m2-vel.

 
 


Ekkor
TMBATMBC=m1AM2m1MC2=AMMC
és
TMDATMDC=m2AM2m2MC2=AMMC.
Így
TMBATMBC=TMDATMDC,azazTMBATMDC=TMBCTMDA.(1)
Tegyük fel, hogy a TAMB, TBMC, TCMD, TDMA területek értékei 1, 2, 3, illetve 4 valamilyen sorrendben. Ekkor az (1) összefüggés mindkét oldala egész szám, egyik oldalán 3 többszöröse áll, míg a másik oldal nem osztható 3-mal. Ez nyilván nem lehet. Tehát nincs a feladat feltételeinek eleget tevő négyszög.