Kezdőlap


Feladat:	Gy.2710	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna Géza , Dombi Gergely , Hegedűs Márton , Megyes Géza , Megyesi Zoltán , Pete Gábor , Somodi László , Turchányi Judit , Újváry-Menyhárt Mónika
Füzet:	1992/március, 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lánctörtek, Diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/szeptember: Gy.2710

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $x$ , $y$ , $z$ és $v$ pozitív egészek, ezért

\begin{matrix} 0 < \frac{1}{y + \frac{1}{z + \frac{1}{v}}} < 1, \end{matrix}

ennek alapján csak

x = 1

lehetséges. Ekkor a következő egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} y + \frac{1}{z + \frac{1}{v}} = \frac{91}{10} = 9 + \frac{1}{10} . \end{matrix}

Mivel

y

z

v

pozitív egész számok, így

\begin{matrix} 0 < \frac{1}{z + \frac{1}{v}} < 1, \end{matrix}

amiből

y = 9

következik. Ezt felhasználva az

\begin{matrix} \frac{1}{v} = 10 - z \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Ennek jobb oldala egész szám, ezért a bal oldala is az. De

v

pozitív egész, így reciproka csak akkor lehet egész, ha

v = 1

teljesül. Ebből pedig

z = 9

adódik.
Tehát azt bizonyítottuk, hogy az egyenlet egyedüli megoldása az

x = 1

;

y = 9

;

z = 9

;

v = 1

számnégyes.

Turchányi Judit (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés: Az adott egyenlet bal oldalát a jobb oldal lánctört-kifejtésének nevezik.