Feladat: Gy.2710 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Barna Géza ,  Dombi Gergely ,  Hegedűs Márton ,  Megyes Géza ,  Megyesi Zoltán ,  Pete Gábor ,  Somodi László ,  Turchányi Judit ,  Újváry-Menyhárt Mónika 
Füzet: 1992/március, 114. oldal  PDF file
Témakör(ök): Lánctörtek, Diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/szeptember: Gy.2710

Oldjuk meg az alábbi egyenletet, ha x,y,z és v pozitív egész számok.
x+1y+1z+1v=10191.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel x, y, z és v pozitív egészek, ezért

0<1y+1z+1v<1,
ennek alapján csak x=1 lehetséges. Ekkor a következő egyenlethez jutunk:
y+1z+1v=9110=9+110.
Mivel y, z, v pozitív egész számok, így
0<1z+1v<1,
amiből y=9 következik. Ezt felhasználva az
1v=10-z
egyenletet kapjuk. Ennek jobb oldala egész szám, ezért a bal oldala is az. De v pozitív egész, így reciproka csak akkor lehet egész, ha v=1 teljesül. Ebből pedig z=9 adódik.
Tehát azt bizonyítottuk, hogy az egyenlet egyedüli megoldása az
x=1; y=9; z=9; v=1 számnégyes.
 

Turchányi Judit (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján

 

Megjegyzés: Az adott egyenlet bal oldalát a jobb oldal lánctört-kifejtésének nevezik.