|
Feladat: |
Gy.2706 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bánky Boróka , Csergőffy Tibor , Csikor Ferenc , Csörnyei Marianna , Dienes Péter , Dőtsch András , Faragó Gergely , Futó Gábor , Gefferth András , Hajba Tamás , Halász Domonkos , Horvai Péter , Imreh Csanád , Jáni Tamás , Kóczy László , Marx Gábor , Megyesi Zoltán , Mile István , Németh Ákos , Pete Gábor , Szeidl Ádám , Veres Gábor , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1992/május,
207 - 208. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Forgatva nyújtás, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/május: Gy.2706 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a félegyeneseket , , -vel, a háromszög csúcsait , , -vel ( az , a , a félegyenesen van), és tegyük föl, hogy -nál -os, -nél pedig -os szög van. Ismert, hogy az ilyen szögekkel rendelkező háromszög átfogója kétszerese a rövidebb befogónak, azaz Ezért, ha a pontot körül -kal elforgatjuk, majd a kapott pontot -ból kétszeresére nagyítjuk, akkor éppen a csúcsot kapjuk.
Ezek alapján a szerkesztést a következő módon végezhetjük: Az félegyenesen tetszőlegesen felvesszük az pontot (ezt azért választhatjuk, mert ha egy megfelelő háromszög, akkor ezt a három félegyenes közös pontjából tetszőleges arányban nagyítva is egy megfelelő háromszöget kapunk); ezután a félegyenest -kal elforgatjuk körül Az így kapott félegyenest -ból kétszeresére nagyítjuk. Ennek a félegyenesnek és -nek a metszéspontja Végül -t -ból felére kicsinyítve, majd az így kapott ‐ -n lévő ‐ pontot körül -kal visszaforgatva kapjuk -t. Az így szerkesztett háromszög nyilván eleget tesz a feladat feltételeinek. Mivel a három félegyenest a három csúccsal hatféleképpen párosíthatjuk, és rögzítése után -t két irányba forgathatjuk, ezért általában legfeljebb 12 lényegében különböző megoldás adódhat. A nagyítások miatt minden, lényegében különböző megoldáshoz végtelen sok hozzá hasonló megoldás tartozik. Természetesen nem mindig valósul meg mind a 12 eset. Ha pl. és rögzítése után akkor ebben a szereposztásban nincs megoldás; ha viszont és egybeesik, akkor végtelen sok, lényegében különböző megoldás létezik. A megoldások pontos számát úgy kaphatjuk meg, hogy mind a 12 esetben ‐ egy-egy rögzített ponttal ‐ megvizsgáljuk kölcsönös helyzetét. Ezzel a feladatot megoldottuk.
Megjegyzés. Megoldásunk tulajdonképpen azon alapult, hogy ismertük annak az középpontú forgatvanyújtásnak a szögét és az arányát, amelyik -t -be vitte. Ezért hasonlóan oldhatjuk meg a feladatot akkor is, ha a szerkesztendő háromszög szögei nem , , , hanem általában adott , , |
|