Feladat: Gy.2706 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bánky Boróka ,  Csergőffy Tibor ,  Csikor Ferenc ,  Csörnyei Marianna ,  Dienes Péter ,  Dőtsch András ,  Faragó Gergely ,  Futó Gábor ,  Gefferth András ,  Hajba Tamás ,  Halász Domonkos ,  Horvai Péter ,  Imreh Csanád ,  Jáni Tamás ,  Kóczy László ,  Marx Gábor ,  Megyesi Zoltán ,  Mile István ,  Németh Ákos ,  Pete Gábor ,  Szeidl Ádám ,  Veres Gábor ,  Vörös Zoltán 
Füzet: 1992/május, 207 - 208. oldal  PDF file
Témakör(ök): Forgatva nyújtás, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/május: Gy.2706

Adott három félegyenes, amelyek egy pontból indulnak ki. Szerkesszünk olyan háromszöget, melyek szögei 30, 60, 90, és három csúcsa a három adott félegyenes egy-egy pontja.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a félegyeneseket a, b, c-vel, a háromszög csúcsait A, B, C-vel (A az a, B a b, C a c félegyenesen van), és tegyük föl, hogy A-nál 60-os, C-nél pedig 90-os szög van. Ismert, hogy az ilyen szögekkel rendelkező háromszög átfogója kétszerese a rövidebb befogónak, azaz AB=2AC. Ezért, ha a C pontot A körül 60-kal elforgatjuk, majd a kapott C' pontot A-ból kétszeresére nagyítjuk, akkor éppen a B csúcsot kapjuk.

 
 

Ezek alapján a szerkesztést a következő módon végezhetjük:
Az a félegyenesen tetszőlegesen felvesszük az A pontot (ezt azért választhatjuk, mert ha ABC egy megfelelő háromszög, akkor ezt a három félegyenes közös pontjából tetszőleges arányban nagyítva is egy megfelelő háromszöget kapunk); ezután a c félegyenest 60-kal elforgatjuk A körül (OésXpontjával). Az így kapott c' félegyenest A-ból kétszeresére nagyítjuk. Ennek a c'' félegyenesnek és b-nek a metszéspontja B. Végül B-t A-ból felére kicsinyítve, majd az így kapott ‐ c'-n lévő ‐ C' pontot A körül 60-kal visszaforgatva kapjuk C-t. Az így szerkesztett ABC háromszög nyilván eleget tesz a feladat feltételeinek.
Mivel a három félegyenest a három csúccsal hatféleképpen párosíthatjuk, és A rögzítése után c-t két irányba forgathatjuk, ezért általában legfeljebb 12 lényegében különböző megoldás adódhat. A nagyítások miatt minden, lényegében különböző megoldáshoz végtelen sok hozzá hasonló megoldás tartozik. Természetesen nem mindig valósul meg mind a 12 eset. Ha pl. a,b,c és A rögzítése után c''||b, akkor ebben a szereposztásban nincs megoldás; ha viszont c'' és b egybeesik, akkor végtelen sok, lényegében különböző megoldás létezik. A megoldások pontos számát úgy kaphatjuk meg, hogy mind a 12 esetben ‐ egy-egy rögzített A ponttal ‐ megvizsgáljuk c''ésb kölcsönös helyzetét.
Ezzel a feladatot megoldottuk.
 
Megjegyzés. Megoldásunk tulajdonképpen azon alapult, hogy ismertük annak az A középpontú forgatvanyújtásnak a szögét és az arányát, amelyik C-t B-be vitte. Ezért hasonlóan oldhatjuk meg a feladatot akkor is, ha a szerkesztendő háromszög szögei nem 30, 60, 90, hanem általában adott α, β, γ.