Kezdőlap


Feladat:	Gy.2700	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csekő Csongor , Nyúl László
Füzet:	1992/március, 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Párhuzamos szelők tétele, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: Gy.2700

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Húzzunk $P$ -n át párhuzamost a $B C$ , illetve az $A B$ oldallal, s jelöljük ezeknek a párhuzamosoknak a háromszög másik két oldalával való metszéspontját rendre $R, Q, S, T$ -vel. A párhuzamos szelők tétele szerint

\begin{matrix} \frac{A R}{R C} = \frac{A Q}{Q B} = \frac{A P}{P A_{1}} = \frac{3}{2} és \frac{C T}{T A} = \frac{C S}{S B} = \frac{C P}{P C_{1}} = \frac{2}{1} . \end{matrix}

Így az

R

és

Q

pontok

3 : 2

arányban osztják az

A C

és

A B

, a

T

és

S

pontok pedig

2 : 1

arányban a

C A

és

C B

oldalakat. Ezért az

R, Q, S, T

pontokat meg tudjuk szerkeszteni, az

R Q

és

S T

egyenesek metszéspontja pedig éppen a keresett

P

pont. A feladatnak nyilvánvalóan mindig egy megoldása van.
Az

A C_{1} : C_{1} B

arányt szintén a párhuzamos szelők tételét felhasználva számolhatjuk ki.

\begin{matrix} \frac{A Q}{Q B} = \frac{A P}{P A_{1}} = \frac{3}{2}, tehát A Q = \frac{3}{2} Q B . \\ \frac{C_{1} Q}{Q B} = \frac{C_{1} P}{P C} = \frac{1}{2}, tehát C_{1} Q = \frac{1}{2} Q B, vagyis : \\ \frac{A C_{1}}{C_{1} B} = \frac{A Q - Q C_{1}}{C_{1} Q + Q B} = \frac{\frac{3}{2} Q B - \frac{1}{2} Q B}{\frac{1}{2} Q B + Q B} = \frac{2}{3} . \end{matrix}

Tehát

C_{1}

A B

oldalt

2 : 3

arányban osztja.
Nyúl László (Kecskemét, Katona J. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A feladat ugyanígy oldható meg az általános esetben is. Ha

\frac{A P}{P A_{1}} = \frac{α}{β}

és

\frac{C P}{P C_{1}} = \frac{γ}{δ}

, akkor hasonló számolással kaphatjuk, hogy

\frac{A C_{1}}{C_{1} B} = \frac{α γ - β δ}{γ β + δ β}