Feladat: Gy.2700 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csekő Csongor ,  Nyúl László 
Füzet: 1992/március, 112. oldal  PDF file
Témakör(ök): Párhuzamos szelők tétele, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/április: Gy.2700

Adott ABC háromszögben szerkesszük meg az AB oldalon a C1 és a BC oldalon az A1 pontokat úgy, hogy az AA1 és a CC1 egyenesek P metszéspontjára AP/PA1=3/2, illetve CP/PC1=2/1 teljesüljön. Milyen arányban osztja a C1 pont az AB oldalt?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Húzzunk P-n át párhuzamost a BC, illetve az AB oldallal, s jelöljük ezeknek a párhuzamosoknak a háromszög másik két oldalával való metszéspontját rendre R,Q,S,T-vel. A párhuzamos szelők tétele szerint

ARRC=AQQB=APPA1=32  és  CTTA=CSSB=CPPC1=21.
Így az R és Q pontok 3:2 arányban osztják az AC és AB, a T és S pontok pedig 2:1 arányban a CA és CB oldalakat. Ezért az R,Q,S,T pontokat meg tudjuk szerkeszteni, az RQ és ST egyenesek metszéspontja pedig éppen a keresett P pont. A feladatnak nyilvánvalóan mindig egy megoldása van.
Az AC1:C1B arányt szintén a párhuzamos szelők tételét felhasználva számolhatjuk ki.

AQQB=APPA1=32,tehátAQ=32QB.C1QQB=C1PPC=12,tehátC1Q=12QB,vagyis:AC1C1B=AQ-QC1C1Q+QB=32QB-12QB12QB+QB=23.


Tehát C1 az AB oldalt 2:3 arányban osztja.
Nyúl László (Kecskemét, Katona J. Gimn., II. o. t.)

 

Megjegyzés. A feladat ugyanígy oldható meg az általános esetben is. Ha APPA1=αβ és CPPC1=γδ, akkor hasonló számolással kaphatjuk, hogy AC1C1B=αγ-βδγβ+δβ.