Kezdőlap


Feladat:	Gy.2689	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna , Faragó Gergely , Győry Máté , Hegedűs Márton , Hertz István , Marx Gábor , Németh Ákos , Párniczky Benedek
Füzet:	1991/november, 395. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Indirekt bizonyítási mód, Másodfokú diofantikus egyenletek, Legkisebb közös többszörös, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/március: Gy.2689

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy létezik racionális megoldás. A nevezőkkel szorozva az

\begin{matrix} u^{2} + u v + v^{2} = 2 w^{2} \end{matrix}

egyenlethez jutunk, ahol

u

v

és

w

egész számok. Az is föltehető, hogy

u

v

és

w

legnagyobb közös osztója

1

. Az egyenlet jobb oldalán páros szám áll, így a bal oldal is az. Ha

u

és

v

valamelyike, vagy mindkettő páratlan, akkor a bal oldal páratlan, ha mindkettő páros, akkor a bal oldal

4

-gyel is osztható, de ebből az adódik, hogy

w

is páros. Ez viszont nem lehetséges, hiszen föltettük, hogy

u

v

és

w

legnagyobb közös osztója

1

.
Az egyenletnek tehát nincsen racionális számokból álló megoldása.

Hegedűs Márton (Nyíregyháza, 1. sz. Gyak. Ált. Isk., 7. o. t.)