Feladat: Gy.2689 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Faragó Gergely ,  Győry Máté ,  Hegedűs Márton ,  Hertz István ,  Marx Gábor ,  Németh Ákos ,  Párniczky Benedek 
Füzet: 1991/november, 395. oldal  PDF file
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Másodfokú diofantikus egyenletek, Legkisebb közös többszörös, Oszthatóság, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/március: Gy.2689

Van-e az x2+xy+y2=2 egyenletnek racionális számokból álló megoldása?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy létezik racionális megoldás. A nevezőkkel szorozva az

u2+uv+v2=2w2
egyenlethez jutunk, ahol u, v és w egész számok. Az is föltehető, hogy u, v és w legnagyobb közös osztója 1. Az egyenlet jobb oldalán páros szám áll, így a bal oldal is az. Ha u és v valamelyike, vagy mindkettő páratlan, akkor a bal oldal páratlan, ha mindkettő páros, akkor a bal oldal 4-gyel is osztható, de ebből az adódik, hogy w is páros. Ez viszont nem lehetséges, hiszen föltettük, hogy u, v és w legnagyobb közös osztója 1.
Az egyenletnek tehát nincsen racionális számokból álló megoldása.
 
 Hegedűs Márton (Nyíregyháza, 1. sz. Gyak. Ált. Isk., 7. o. t.)