Kezdőlap


Feladat:	Gy.2682	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston Hugó-Attila , Babucs Hajnalka , Csorba Péter , Faragó Gergely , Futó Gábor , Horvai Péter , Imreh Csanád , Kálmán Tamás , Kerekes Balázs , Marx Gábor , Molnár-Sáska Gábor , Róka Dániel , Szakáll Gábor , Szeidl Ádám , Szendrei Tamás , Szijártó Miklós , Ungár György , Veres Tamás
Füzet:	1992/február, 68 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: Gy.2682

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a kör középpontját $O$ -val, sugarát $r$ -rel. Feltehetjük, hogy $P$ a $C D$ szakasz $B$ felőli oldalán helyezkedik el, hiszen a bizonyítandó állítás $A$ -ra és $B$ -re nézve szimmetrikus. Két esetet különböztetünk meg.

1. ábra

P

és

D

A B

egyenes ugyanazon oldalán van, akkor:

\begin{matrix} A X = r + O X, B X = r - O X, A Y = r + O Y és B Y = O Y - r . \end{matrix}

Azt kell tehát megmutatnunk, hogy:

\begin{matrix} \frac{r + O X}{r + O Y} = \frac{r - O X}{O Y - r} . \end{matrix}

Beszorzás és a lehetséges egyszerűsítések után az

O X \cdot O Y = r^{2}

egyenlőséghez jutunk. Ez viszont következik az

O X C

és az

O D Y

derékszögű háromszögek hasonlóságából. (

O C X

szög és

O Y D

szög merőleges szárú hegyesszögek.) A hasonlóság miatt

\frac{O X}{r} = \frac{r}{O Y}

, ebben az esetben tehát igaz az állítás.

2. ábra

P

és

D

A B

egyenes két különböző oldalán van, akkor:

\begin{matrix} A X = r + O X, B X = O X - r, A Y = r + O Y és B Y = r - O Y . \end{matrix}

Így azt kell megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} \frac{r + O X}{r + O Y} = \frac{O X - r}{r - O Y}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} O X \cdot O Y = r^{2} . \end{matrix}

Mivel az

O X C

és az

O D Y

derékszögű háromszögek ebben az esetben is hasonlóak, azért

\frac{O X}{r} = \frac{r}{O Y}

. Ezzel a feladat állítását beláttuk.

Szeidl Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit és különböztessük meg ugyanazt a két esetet.
Az első esetben

A O D ∢ = A O C ∢ = C O B ∢ = 90^{\circ}

, ezért (felhasználva, hogy egy adott körívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2 : 1):

\begin{matrix} D P A ∢ = A P C ∢ = C P B ∢ = 45^{\circ} . \end{matrix}

Thalész tétele miatt

D P C ∢ = A P B ∢ = 90^{\circ}

, így

X P Y ∢ = 180^{\circ} - D P C ∢ = 90^{\circ}

és

B P Y ∢ = X P Y ∢ - C P B ∢ = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}

; vagyis az

X P Y

derékszögű háromszögnek

P B

belső,

A P

pedig külső szögfelezője (1. ábra). A külső illetve a belső szögfelezőtételt alkalmazva kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{A X}{A Y} = \frac{P X}{P Y} és \frac{B X}{B Y} = \frac{P X}{P Y} . \end{matrix}

Ezekből feladatunk állítása nyilvánvalóan következik.
A második esetben az elsővel teljesen megegyező módon látható be, hogy az

X P Y

háromszögnek

B P

belső,

A P

pedig külső szögfelezője (az egyetlen különbség, hogy ezúttal

C P B ∢ = 135^{\circ}