|
Feladat: |
Gy.2682 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ágoston Hugó-Attila , Babucs Hajnalka , Csorba Péter , Faragó Gergely , Futó Gábor , Horvai Péter , Imreh Csanád , Kálmán Tamás , Kerekes Balázs , Marx Gábor , Molnár-Sáska Gábor , Róka Dániel , Szakáll Gábor , Szeidl Ádám , Szendrei Tamás , Szijártó Miklós , Ungár György , Veres Tamás |
Füzet: |
1992/február,
68 - 69. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/február: Gy.2682 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a kör középpontját -val, sugarát -rel. Feltehetjük, hogy a szakasz felőli oldalán helyezkedik el, hiszen a bizonyítandó állítás -ra és -re nézve szimmetrikus. Két esetet különböztetünk meg.
1. ábra Ha és az egyenes ugyanazon oldalán van, akkor: | | Azt kell tehát megmutatnunk, hogy: Beszorzás és a lehetséges egyszerűsítések után az egyenlőséghez jutunk. Ez viszont következik az és az derékszögű háromszögek hasonlóságából. ( szög és szög merőleges szárú hegyesszögek.) A hasonlóság miatt , ebben az esetben tehát igaz az állítás.
2. ábra Ha és az egyenes két különböző oldalán van, akkor: | | Így azt kell megmutatnunk, hogy vagyis Mivel az és az derékszögű háromszögek ebben az esetben is hasonlóak, azért . Ezzel a feladat állítását beláttuk.
Szeidl Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján
II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit és különböztessük meg ugyanazt a két esetet. Az első esetben , ezért (felhasználva, hogy egy adott körívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2 : 1): Thalész tétele miatt , így és ; vagyis az derékszögű háromszögnek belső, pedig külső szögfelezője (1. ábra). A külső illetve a belső szögfelezőtételt alkalmazva kapjuk, hogy: Ezekből feladatunk állítása nyilvánvalóan következik. A második esetben az elsővel teljesen megegyező módon látható be, hogy az háromszögnek belső, pedig külső szögfelezője (az egyetlen különbség, hogy ezúttal ).
|
|