Feladat: Gy.2682 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ágoston Hugó-Attila ,  Babucs Hajnalka ,  Csorba Péter ,  Faragó Gergely ,  Futó Gábor ,  Horvai Péter ,  Imreh Csanád ,  Kálmán Tamás ,  Kerekes Balázs ,  Marx Gábor ,  Molnár-Sáska Gábor ,  Róka Dániel ,  Szakáll Gábor ,  Szeidl Ádám ,  Szendrei Tamás ,  Szijártó Miklós ,  Ungár György ,  Veres Tamás 
Füzet: 1992/február, 68 - 69. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Középponti és kerületi szögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/február: Gy.2682

AB és CD a k kör két egymásra merőleges átmérője, P pedig a körvonal tetszőleges pontja. A CP és a DP egyenesnek az AB egyenessel való metszéspontja X és Y. Mutassuk meg, hogy
AXAY=BXBY.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a kör középpontját O-val, sugarát r-rel. Feltehetjük, hogy P a CD szakasz B felőli oldalán helyezkedik el, hiszen a bizonyítandó állítás A-ra és B-re nézve szimmetrikus. Két esetet különböztetünk meg.

 
 

1. ábra
 

Ha P és D az AB egyenes ugyanazon oldalán van, akkor:
AX=r+OX,BX=r-OX,AY=r+OYésBY=OY-r.
Azt kell tehát megmutatnunk, hogy:
r+OXr+OY=r-OXOY-r.
Beszorzás és a lehetséges egyszerűsítések után az OXOY=r2 egyenlőséghez jutunk. Ez viszont következik az OXC és az ODY derékszögű háromszögek hasonlóságából. (OCX szög és OYD szög merőleges szárú hegyesszögek.) A hasonlóság miatt OXr=rOY, ebben az esetben tehát igaz az állítás.
 
 

2. ábra
 

Ha P és D az AB egyenes két különböző oldalán van, akkor:
AX=r+OX,BX=OX-r,AY=r+OYésBY=r-OY.
Így azt kell megmutatnunk, hogy
r+OXr+OY=OX-rr-OY,
vagyis
OXOY=r2.

Mivel az OXC és az ODY derékszögű háromszögek ebben az esetben is hasonlóak, azért OXr=rOY. Ezzel a feladat állítását beláttuk.
 
 Szeidl Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján
 

II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit és különböztessük meg ugyanazt a két esetet.
Az első esetben AOD=AOC=COB=90, ezért (felhasználva, hogy egy adott körívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2 : 1):
DPA=APC=CPB=45.

Thalész tétele miatt DPC=APB=90, így XPY=180-DPC=90 és BPY=XPY-CPB=90-45=45; vagyis az XPY derékszögű háromszögnek PB belső, AP pedig külső szögfelezője (1. ábra). A külső illetve a belső szögfelezőtételt alkalmazva kapjuk, hogy:
AXAY=PXPYésBXBY=PXPY.
Ezekből feladatunk állítása nyilvánvalóan következik.
A második esetben az elsővel teljesen megegyező módon látható be, hogy az XPY háromszögnek BP belső, AP pedig külső szögfelezője (az egyetlen különbség, hogy ezúttal CPB=135).