Kezdőlap


Feladat:	Gy.2681	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csikai Szabolcs , Faragó Gergely , Futó Gábor , Róka Dániel , Szeidl Ádám , Timár Ádám
Füzet:	1992/január, 25 - 26. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Kombinatorikai leszámolási problémák, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: Gy.2681

Egy csomag francia kártyát megkeverünk, majd egyesével kihúzzuk a lapokat. Hányadik helyen a legvalószínűbb a második ász kihúzása?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $1 \leq n \leq 52,$ akkor jelölje $P (n)$ az $52$ kártyalap azon sorrendjeinek számát, ahol a második ász az $n$ -edik helyen fordul elő. Nyilván azon a helyen a legvalószínűbb a második ász előfordulása, ahol $P (n)$ értéke a legnagyobb.
Ha a második ászt az $n$ -edik helyen húzzuk ki (ekkor természetesen $n > 1)$ , akkor az első ász egyenlő valószínűséggel lehet az első $n - 1$ hely bármelyikén, a további kettő pedig az első kettőtől függetlenül az $52 - n$ további hely közül bármely kettőn. Mivel a további $48$ lap összesen $48!$ -féle sorrendje a kérdéses maximum szempontjából közömbös, így

\begin{matrix} \frac{P (n)}{48!} = (n - 1) (\binom{52 - n}{2}), \end{matrix}

ami akkor maximális, amikor az

(n - 1) (51 - n) (52 - n)

szorzat.
A fenti szorzat maximumának meghatározása az

(x - 1) (51 - x) (52 - x

) folytonos függvény vizsgálatával, analízisbeli eszközök segítségével, majd az

n

lehetséges értékeinek vizsgálatával történhet. Az alábbiakban egy viszonylag gyors, elemi, bár nem teljesen precíz lehetőséget mutatunk be.
A kérdéses szorzatot írjuk

\begin{matrix} \frac{1}{2} (2 n - 2) (51 - n) (52 - n) = \frac{1}{2} q (n) \end{matrix}

alakba. A tényezők összege a

q (n)

szorzatban állandó, így alkalmazható a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség:

\begin{matrix} q (n) ≦ {(\frac{101}{3})}^{3}, \end{matrix}

így, mivel

n

egész,

\begin{matrix} (n - 1) (51 - n) (52 - n) ≦ [{(\frac{101}{3})}^{2} \cdot \frac{1}{2}] = 19079. \end{matrix}

n

= 18, akkor

\begin{matrix} (n - 1) (51 - n) (52 - n) = 19074, \end{matrix}

és látható, hogy ha

n

értéke 1-gyel változik, akkor a szorzat értéke az

19079 - 19074 = 5

értéknél jóval nagyobbat változik, így csak csökkenhet. A

(17,19)

intervallumban tehát lokális maximuma van az

(x - 1) (51 - x) (52 - x)

függvénynek. Ha most a szorzat az

[1,52]

intervallumban még valahol

19073

-nál nagyobb értéket venne föl, akkor ugyanilyen meggondolás szerint ott is lokális maximuma volna, ami viszont harmadfokú függvény esetén nem lehetséges.