|
Feladat: |
Gy.2681 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csikai Szabolcs , Faragó Gergely , Futó Gábor , Róka Dániel , Szeidl Ádám , Timár Ádám |
Füzet: |
1992/január,
25 - 26. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Kombinatorikai leszámolási problémák, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/február: Gy.2681 |
|
Egy csomag francia kártyát megkeverünk, majd egyesével kihúzzuk a lapokat. Hányadik helyen a legvalószínűbb a második ász kihúzása?
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha akkor jelölje az kártyalap azon sorrendjeinek számát, ahol a második ász az -edik helyen fordul elő. Nyilván azon a helyen a legvalószínűbb a második ász előfordulása, ahol értéke a legnagyobb. Ha a második ászt az -edik helyen húzzuk ki (ekkor természetesen , akkor az első ász egyenlő valószínűséggel lehet az első hely bármelyikén, a további kettő pedig az első kettőtől függetlenül az további hely közül bármely kettőn. Mivel a további lap összesen -féle sorrendje a kérdéses maximum szempontjából közömbös, így ami akkor maximális, amikor az szorzat. A fenti szorzat maximumának meghatározása az ) folytonos függvény vizsgálatával, analízisbeli eszközök segítségével, majd az lehetséges értékeinek vizsgálatával történhet. Az alábbiakban egy viszonylag gyors, elemi, bár nem teljesen precíz lehetőséget mutatunk be. A kérdéses szorzatot írjuk | | alakba. A tényezők összege a szorzatban állandó, így alkalmazható a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség: így, mivel egész, | | Ha = 18, akkor és látható, hogy ha értéke 1-gyel változik, akkor a szorzat értéke az értéknél jóval nagyobbat változik, így csak csökkenhet. A intervallumban tehát lokális maximuma van az függvénynek. Ha most a szorzat az intervallumban még valahol -nál nagyobb értéket venne föl, akkor ugyanilyen meggondolás szerint ott is lokális maximuma volna, ami viszont harmadfokú függvény esetén nem lehetséges.
|
|