Feladat: Gy.2681 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csikai Szabolcs ,  Faragó Gergely ,  Futó Gábor ,  Róka Dániel ,  Szeidl Ádám ,  Timár Ádám 
Füzet: 1992/január, 25 - 26. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Kombinatorikai leszámolási problémák, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/február: Gy.2681

Egy csomag francia kártyát megkeverünk, majd egyesével kihúzzuk a lapokat. Hányadik helyen a legvalószínűbb a második ász kihúzása?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha 1n52, akkor jelölje P(n) az 52 kártyalap azon sorrendjeinek számát, ahol a második ász az n-edik helyen fordul elő. Nyilván azon a helyen a legvalószínűbb a második ász előfordulása, ahol P(n) értéke a legnagyobb.
Ha a második ászt az n-edik helyen húzzuk ki (ekkor természetesen n>1), akkor az első ász egyenlő valószínűséggel lehet az első n-1 hely bármelyikén, a további kettő pedig az első kettőtől függetlenül az 52-n további hely közül bármely kettőn. Mivel a további 48 lap összesen 48!-féle sorrendje a kérdéses maximum szempontjából közömbös, így

P(n)48!=(n-1)(52-n2),
ami akkor maximális, amikor az (n-1)(51-n)(52-n) szorzat.
A fenti szorzat maximumának meghatározása az (x-1)(51-x)(52-x) folytonos függvény vizsgálatával, analízisbeli eszközök segítségével, majd az n lehetséges értékeinek vizsgálatával történhet. Az alábbiakban egy viszonylag gyors, elemi, bár nem teljesen precíz lehetőséget mutatunk be.
A kérdéses szorzatot írjuk
12(2n-2)(51-n)(52-n)=12q(n)
alakba. A tényezők összege a q(n) szorzatban állandó, így alkalmazható a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség:
q(n)(1013)3,
így, mivel n egész,
(n-1)(51-n)(52-n)[(1013)212]=19079.
Ha n= 18, akkor
(n-1)(51-n)(52-n)=19074,
és látható, hogy ha n értéke 1-gyel változik, akkor a szorzat értéke az 19079-19074=5 értéknél jóval nagyobbat változik, így csak csökkenhet. A (17,19) intervallumban tehát lokális maximuma van az (x-1)(51-x)(52-x) függvénynek. Ha most a szorzat az [1,52] intervallumban még valahol 19073-nál nagyobb értéket venne föl, akkor ugyanilyen meggondolás szerint ott is lokális maximuma volna, ami viszont harmadfokú függvény esetén nem lehetséges.