Feladat: Gy.2673 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csörnyei Marianna ,  Kálmán Tamás ,  Katz Sándor ,  Marx Gábor ,  Róka Dániel ,  Surányi András ,  Szeidl Ádám ,  Szikszai József 
Füzet: 1992/január, 18 - 19. oldal  PDF file
Témakör(ök): Játékelmélet, játékok, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/január: Gy.2673

Négyen a következő játékot játsszák. Megkevernek egy csomag 52 lapos francia kártyát, ezután az első játékos egyesével visszatevés nélkül húz lapokat egészen addig, amíg egy ászt nem húz. Ezután a második játékos kerül sorra és ő is addig húz lapokat, amíg egy ász nem kerül a kezébe, majd a harmadik, végül a negyedik játékos következik. A játékot az nyeri, akinek a legtöbb lap kerül a kezébe, illetve nincs győztes, ha holtverseny van az élen. Melyik játékosnak kedvező ez a játék?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a négy játékost (a kihúzás sorrendjében) rendre A,B,C és D. Tekintsünk egy olyan esetet, amelyben A nyert. Legyenek a lapok kihúzási sorrendben a1,a2,...,a52, közöttük a négy ász pedig ap,aq,ar,as, ahol 1p<p<q<r<s52. A kapott lapok száma tehát A:p db lap, B:q-p db, C:r-q db, D:s-r db, és azt tettük fel, hogy ezek közül egyedül p a legnagyobb szám.
 

Rendezzük át a fenti sorrendet a következőképpen: Az ap+1,ap+2...,aq lapokat változatlan sorrendben toljuk át a csomag elejére, mögéjük pedig állítsuk az a1,a2,...,ap lapokat ugyanilyen sorrendben. Így az alábbi sorrendet kapjuk: ap+1,ap+2...,aq,a1,a2,...,ap,aq+1,aq+2......,ar,...,as,...,a52 (esetleg as=a52). Ezzel egy olyan kihúzási sorrendet kaptunk, amelyben már nem A, hanem B nyer.
 

Világos, hogy a fenti módon minden olyan sorrendhez, amelyben A a győztes, pontosan egy olyat kapunk, amelyben B nyer. Ez megfordítva is fennáll (hasonlóan bizonyítható), tehát kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítettünk azon sorrendek között, amelyekben A nyer, és azok között, amelyekben B. Így az összes lehetséges kihúzási sorrendből A pontosan annyiszor nyer, mint B, és mivel minden sorrend egyformán valószínű, ezért A-nak és B-nek ugyanakkora a nyerési esélye.
 

A fenti gondolatmenetet megismételhetjük A és C, illetve A és D között is. Ezek szerint az összes kihúzási sorrendből pontosan ugyanannyiszor nyer A, mint B,C és D.
 

Így a játék igazságos, mindenkinek ugyanakkora esélye van a győzelemre.
 

Megjegyzés. A fenti bizonyítás változatlanul érvényes k darab ászra, n(k) darab lapra, és l(k) darab játékosra. Az átcsoportosítás ugyanúgy végezhető, végül tehát az előzőkhöz hasonlóan azt kapjuk, hogy a játék igazságos.
 

 Szeidl Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján