|
Feladat: |
Gy.2663 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Dienes Péter , Futó Gábor , Győry Máté , Németh Ákos , Olaszi Zsolt , Ratkó Éva , Reiff Ádám , Róka Dániel , Szeidl Ádám , Szlachányi Gergely , Újváry-Menyhárt Zoltán , Urbán Péter , Veres Tamás |
Füzet: |
1991/május,
212. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Kombinációk, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/december: Gy.2663 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A többi golyó színe nem játszik szerepet a megoldásban, ezért azonos színűnek is tekinthetjük őket. A piros golyókat ekkor összesen -féleképpen húzhatjuk ki az urnából, és ezek az esetek egyforma valószínűséggel következhetnek be. Ha a második piros golyót a -adik helyen húzzuk ki , akkor az előtte kihúzott és az utána kihúzott golyó között egy-egy piros van. Ez azt jelenti, hogy az első és a harmadik piros golyó helye -féleképpen adódik, éppen ennyi esetben kerülhet tehát a második piros golyó a -adik helyre. A kérdéses valószínűség ezért -nak arra az értékére lesz maximális, ahol a szorzat a lehető legnagyobb. Átalakítva a szorzatot:
| |
Mivel , a fenti szorzat akkor éri el a maximumát, ha , tehát ha . Ezért a feladat kérdésére a válasz: a második piros golyót legvalószínűbben az -edik helyen húzhatjuk ki.
Megjegyzések. A második piros golyó a sorszámú helyeken fordulhat elő; annak a valószínűsége, hogy az -edikre húzzuk ki, , ami bár nem túl nagy, a fentiek szerint mégis a legnagyobb az egyes sorszámok valószínűségei közül. Összehasonlításul közöljük, hogy a (és a ) esetek valószínűsége , az előbbi érték része. Gondoljuk meg, hogy ha az első piros golyót figyeljük, annak kihúzása az első helyen a legvalószínűbb, a valószínűség Ha tehát ketten játszanak, egyikük az első, másikuk pedig a második piros golyó sorszámára tippel és mindketten a számukra legvalószínűbb kimenetelre tippelnek, akkor az elsőnek körülbelül kétszer akkora a nyerési esélye, mint a másodiknak. |
|