Kezdőlap


Feladat:	Gy.2663	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dienes Péter , Futó Gábor , Győry Máté , Németh Ákos , Olaszi Zsolt , Ratkó Éva , Reiff Ádám , Róka Dániel , Szeidl Ádám , Szlachányi Gergely , Újváry-Menyhárt Zoltán , Urbán Péter , Veres Tamás
Füzet:	1991/május, 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinációk, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/december: Gy.2663

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A többi golyó színe nem játszik szerepet a megoldásban, ezért azonos színűnek is tekinthetjük őket. A piros golyókat ekkor összesen $(\binom{101}{3})$ -féleképpen húzhatjuk ki az urnából, és ezek az esetek egyforma valószínűséggel következhetnek be.
Ha a második piros golyót a $k$ -adik helyen húzzuk ki $(1 < k < 100)$ , akkor az előtte kihúzott $k - 1$ és az utána kihúzott $101 - k$ golyó között egy-egy piros van. Ez azt jelenti, hogy az első és a harmadik piros golyó helye $(k - 1) \cdot (101 - k)$ -féleképpen adódik, éppen ennyi esetben kerülhet tehát a második piros golyó a $k$ -adik helyre.
A kérdéses valószínűség ezért $k$ -nak arra az értékére lesz maximális, ahol a $(k - 1) \cdot (101 - k)$ szorzat a lehető legnagyobb. Átalakítva a szorzatot:

\begin{matrix} (k - 1) \cdot (101 - k) = - k^{2} + 102 k - 101 = - {(k - 51)}^{2} + 2500. \end{matrix}

Mivel

- {(k - 51)}^{2} ≦ 0

, a fenti szorzat akkor éri el a maximumát, ha

- {(k - 51)}^{2} = 0

, tehát ha

k = 51

. Ezért a feladat kérdésére a válasz: a második piros golyót legvalószínűbben az

51

-edik helyen húzhatjuk ki.

Megjegyzések. A második piros golyó a

k = 2,3, ...,51, ...,100

sorszámú helyeken fordulhat elő; annak a valószínűsége, hogy az

51

-edikre húzzuk ki,

2500 / (\binom{101}{3}) \approx 0,015

, ami bár nem túl nagy, a fentiek szerint mégis a legnagyobb az egyes sorszámok valószínűségei közül. Összehasonlításul közöljük, hogy a

k = 2

(és a

k = 100

) esetek valószínűsége

99 / (\binom{101}{3}) \approx 0,0006

, az előbbi érték

1 / 25

része.
Gondoljuk meg, hogy ha az első piros golyót figyeljük, annak kihúzása az első helyen a legvalószínűbb, a valószínűség

\begin{matrix} \frac{(\binom{100}{2})}{(\binom{101}{3})} = \frac{3}{101} \approx 0,03 \end{matrix}

Ha tehát ketten játszanak, egyikük az első, másikuk pedig a második piros golyó sorszámára tippel és mindketten a számukra legvalószínűbb kimenetelre tippelnek, akkor az elsőnek körülbelül kétszer akkora a nyerési esélye, mint a másodiknak.