Feladat: Gy.2663 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dienes Péter ,  Futó Gábor ,  Győry Máté ,  Németh Ákos ,  Olaszi Zsolt ,  Ratkó Éva ,  Reiff Ádám ,  Róka Dániel ,  Szeidl Ádám ,  Szlachányi Gergely ,  Újváry-Menyhárt Zoltán ,  Urbán Péter ,  Veres Tamás 
Füzet: 1991/május, 212. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kombinációk, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/december: Gy.2663

Egy urnában 101 golyó van, közülük pontosan 3 piros. A golyókat visszatevés nélkül egyesével kihúzzuk. Hányadik helyen a legvalószínűbb a második piros golyó kihúzása?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A többi golyó színe nem játszik szerepet a megoldásban, ezért azonos színűnek is tekinthetjük őket. A piros golyókat ekkor összesen (1013)-féleképpen húzhatjuk ki az urnából, és ezek az esetek egyforma valószínűséggel következhetnek be.
Ha a második piros golyót a k-adik helyen húzzuk ki (1<k<100), akkor az előtte kihúzott k-1 és az utána kihúzott 101-k golyó között egy-egy piros van. Ez azt jelenti, hogy az első és a harmadik piros golyó helye (k-1)(101-k)-féleképpen adódik, éppen ennyi esetben kerülhet tehát a második piros golyó a k-adik helyre.
A kérdéses valószínűség ezért k-nak arra az értékére lesz maximális, ahol a (k-1)(101-k) szorzat a lehető legnagyobb. Átalakítva a szorzatot:

(k-1)(101-k)=-k2+102k-101=-(k-51)2+2500.

Mivel -(k-51)20, a fenti szorzat akkor éri el a maximumát, ha -(k-51)2=0, tehát ha k=51. Ezért a feladat kérdésére a válasz: a második piros golyót legvalószínűbben az 51-edik helyen húzhatjuk ki.
 

Megjegyzések. A második piros golyó a k=2,3,...,51,...,100 sorszámú helyeken fordulhat elő; annak a valószínűsége, hogy az 51-edikre húzzuk ki, 2500/(1013)0,015, ami bár nem túl nagy, a fentiek szerint mégis a legnagyobb az egyes sorszámok valószínűségei közül. Összehasonlításul közöljük, hogy a k=2 (és a k=100) esetek valószínűsége 99/(1013)0,0006, az előbbi érték 1/25 része.
Gondoljuk meg, hogy ha az első piros golyót figyeljük, annak kihúzása az első helyen a legvalószínűbb, a valószínűség
(1002)(1013)=31010,03

Ha tehát ketten játszanak, egyikük az első, másikuk pedig a második piros golyó sorszámára tippel és mindketten a számukra legvalószínűbb kimenetelre tippelnek, akkor az elsőnek körülbelül kétszer akkora a nyerési esélye, mint a másodiknak.