Beának $3$ kérdésre van szüksége, hogy biztosan kitalálhassa, hogy az $1$. dobozban páros vagy páratlan számú gyufa van. Elegendő ehhez pl. a következő három kérdés:
I. 1.‐15., II. 1.‐8. és 16.‐22., III. 1. és 9.‐22.számú dobozok.
A három kérdésre adott válaszokat a paritások összeadásának ismert szabályai (páros$+$páros=páratlan+páratlan=páros stb.) szerint összeadva éppen az $1$ dobozban lévő gyufák számának párosságát kapjuk, hiszen a három válasz összegében az $1$. doboz tartalma $3$-szor, a $2$.‐$22$. dobozoké pedig kétszer szerepel, tehát ez az összeg az $1$. dobozban lévő gyufák számától páros számmal különbözik.
Be kell még látnunk, hogy háromnál kevesebb kérdés nem elegendő. Ha az $1$. doboz egyik kérdésben sem szerepel, akkor egy gyufát beletéve a válaszok nem változnak, de az $1$. doboz párossága igen, tehát így nem található ki, hogy páros vagy páratlan számú gyufa van-e benne.
Könnyen látható, hogy egy kérdés, vagy két azonos kérdés, valamint két, közös elem nélküli kérdés sem elég, hiszen ekkor az $1$. dobozba és a vele egy kérdésben szereplő dobozok egyikébe $1-1$ szál gyufát helyezve a válaszok nem változnak, de az $1$. doboz párossága igen.
Ha a fenti esetek egyike sem teljesül, akkor legyen
A: csak az I. kérdésben szereplő dobozok,
B: csak a II. kérdésben szereplő dobozok, végül
C: mindkét kérdésben szereplő dobozok halmaza.
Feltevésünk szerint $A\mathrm{,}B$ és $C$ egyike sem lehet üres halmaz és legalább az egyikük tartalmazza az $1$. dobozt. Ha most az $1$. dobozba, valamint az $1$.-t nem tartalmazó halmazok egy-egy dobozába egy-egy szál gyufát teszünk, akkor a két kérdésre adott válaszok nem változnak, de az $1$. doboz párossága más lesz.
Fenti eredményeinket összevetve kapjuk, hogy Bea ki tudja találni az $1$. dobozban lévő gyufák számának a paritását és ehhez $3$ kérdésre van szüksége.