Feladat: Gy.2645 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Faragó Gergely ,  Szendrei Tamás ,  Veres Gábor 
Füzet: 1991/február, 74. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hasábok, Kombinatorikus geometria térben, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2645

Van-e olyan konvex test, amelynek 1990 éle van és nincs háromszög lapja?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Létezik a feladat feltételeinek megfelelő test. Ennek bizonyításához elegendő egy ilyen testet megadnunk.
Vegyünk egy szabályos 658-szög alapú egyenes hasábot. Ennek 3658=1974 éle van. Illesszünk a hasáb két nem szomszédos oldallapjára egy-egy olyan csonkagúlát, amelynek alaplapja egybevágó a hasáb téglalap alakú oldallapjával, a hasáb oldaléleihez illeszkedő két-két oldallapja pedig az alaplap síkjával α<360658 szöget zár be. (360658 a szabályos 658-szög egyik külső szöge.) Egy ilyen csonkagúlának 12 éle van, ezekből 4 egybeesik a hasáb éleivel, tehát a kiegészítés során 28=16 új él keletkezik, vagyis testünknek 1974+16=1990 éle van. A keletkezett testnek csak négyszög és 658-szög lapjai vannak, és konvex is, mivel a kiegészítő csonkagúlák oldallapjainak a hasáb szomszédos oldallapjaival bezárt szöge:

180-360658+α<180.

 

Megjegyzések. 1. A fentiekhez hasonlóan az is belátható, hogy bármely n>25 természetes számhoz létezik olyan n élű konvex test, amelynek nincs háromszög lapja.
2. A feladat feltételeinek sok, az itt konstruálttól lényegesen különböző test is eleget tesz.
 

 Veres Gábor (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján