A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait , , -vel, kerületét -sel, területét -vel, a hozzáírt körök sugarait , , -vel, a beírt kör sugarát pedig -rel. Ismertek a következő összefüggések (bizonyításuk megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. 1470-72. feladataiban):
| | (1) |
Az (1) egyenleteket összeadva kapjuk, hogy
vagyis (2)-t felhasználva, majd -vel egyszerűsítve:
A megadott sugarakat helyettesítve adódik. Szorozzuk ezután össze az (1)‐(2) egyenleteket, és alkalmazzuk (3)-t:
| |
Ebből ezt (2)-be helyettesítve =15 adódik. A háromszög kerülete tehát 30 egység. Könnyen ellenőrizhető, hogy a feladatban szereplő háromszög létezik, ilyen ‐ éspedig az egyetlen ‐ az a derékszögű háromszög, amelynek befogói 5 és 12, átfogója pedig 13 egység.
Csorba Péter (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
|