Kezdőlap


Feladat:	Gy.2643	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csorba Péter
Füzet:	1991/április, 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hozzáírt körök, Hossz, kerület, Terület, felszín, Heron-képlet, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2643

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait $a$ , $b$ , $c$ -vel, kerületét $2 s$ -sel, területét $t$ -vel, a hozzáírt körök sugarait $r_{a}$ , $r_{b}$ , $r_{c}$ -vel, a beírt kör sugarát pedig $r$ -rel. Ismertek a következő összefüggések (bizonyításuk megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. 1470-72. feladataiban):

\begin{matrix} s - a = \frac{t}{r_{a}}, s - b = \frac{t}{r_{b}}, s - c = \frac{t}{r_{c}}, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} s = \frac{t}{r}, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} t \dot{=} \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} . \end{matrix}

(3)

Az (1) egyenleteket összeadva kapjuk, hogy

\begin{matrix} s = 3 s - a - b - c = \frac{t}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}} + \frac{t}{r_{c}}, \end{matrix}

vagyis (2)-t felhasználva, majd

t

-vel egyszerűsítve:

\begin{matrix} \frac{1}{r} = \frac{1}{r_{a}} + \frac{1}{r_{b}} + \frac{1}{r_{c}} . \end{matrix}

A megadott sugarakat helyettesítve

r = 2

adódik. Szorozzuk ezután össze az (1)‐(2) egyenleteket, és alkalmazzuk (3)-t:

\begin{matrix} t^{2} = s (s - a) (s - b) (s - c) = \frac{t^{4}}{r \cdot r_{a} \cdot r_{b} \cdot r_{c}} . \end{matrix}

Ebből

t = \sqrt[]{r \cdot r_{a} \cdot r_{b} \cdot r_{c}} = 30;

ezt (2)-be helyettesítve

s

=15 adódik. A háromszög kerülete tehát 30 egység. Könnyen ellenőrizhető, hogy a feladatban szereplő háromszög létezik, ilyen ‐ éspedig az egyetlen ‐ az a derékszögű háromszög, amelynek befogói 5 és 12, átfogója pedig 13 egység.

Csorba Péter (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján