Feladat: Gy.2643 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csorba Péter 
Füzet: 1991/április, 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hozzáírt körök, Hossz, kerület, Terület, felszín, Heron-képlet, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2643

Egy háromszög hozzáírt köreinek sugarai rendre 3, 10 és 15. Mekkora a háromszög kerülete?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a háromszög oldalait a, b, c-vel, kerületét 2s-sel, területét t-vel, a hozzáírt körök sugarait ra, rb, rc-vel, a beírt kör sugarát pedig r-rel. Ismertek a következő összefüggések (bizonyításuk megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. 1470-72. feladataiban):

 

s-a=tra,s-b=trb,s-c=trc,(1)

 

s=tr,(2)

 

t=.s(s-a)(s-b)(s-c).(3)
 

Az (1) egyenleteket összeadva kapjuk, hogy
 

s=3s-a-b-c=tra+1rb+trc,

 

vagyis (2)-t felhasználva, majd t-vel egyszerűsítve:
 

1r=1ra+1rb+1rc.

 

A megadott sugarakat helyettesítve r=2 adódik. Szorozzuk ezután össze az (1)‐(2) egyenleteket, és alkalmazzuk (3)-t:
 

t2=s(s-a)(s-b)(s-c)=t4rrarbrc.

 

Ebből t=rrarbrc=30; ezt (2)-be helyettesítve s=15 adódik. A háromszög kerülete tehát 30 egység. Könnyen ellenőrizhető, hogy a feladatban szereplő háromszög létezik, ilyen ‐ éspedig az egyetlen ‐ az a derékszögű háromszög, amelynek befogói 5 és 12, átfogója pedig 13 egység.
 
Csorba Péter (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján