Feladat: Gy.2642 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Risbjerg Anna ,  Zsenei András 
Füzet: 1991/április, 161 - 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Mértani helyek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2642

Határozzuk meg azon pontoknak a mértani helyét a síkban, amelyekből egy adott négyzet adott szögben látszik.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A négyzet oldalegyenesei a síkot 9 részre osztják. Számozzuk meg a részeket az 1. ábrán látható módon.

 
 

1. ábra
 


Ha egy pont az 1.‐4. síkrészek valamelyikében helyezkedik el, akkor abból a négyzetnek valamelyik oldalát, ha pedig az 5.‐8. síkrészek valamelyikében, akkor abból a négyzetnek valamelyik átlóját látjuk. (Az 1. síkrészből például az AB oldalt, az 5. síkrészből pedig a BC átlót.)
Tudjuk, hogy azon pontok mértani helye, melyekből egy szakasz adott szögben látszik, két, a szakaszra szimmetrikusan elhelyezkedő körív. Ezért feladatunk megoldását a négyzet oldalaihoz, illetve átlóihoz és az adott szöghöz tartozó látóköríveknek a megfelelő síkrészekbe eső részei adják. Ha az adott szög hegyesszög, akkor a körívek nagyobbak ugyan félkörnél, de pl. az AB szakaszhoz tartozó látókörívek közül csak az EF ívrész esik az 1. síkrészbe, tehát csak ez tartozik a mértani helyhez (2. ábra).
 
 

2. ábra
 

Az oldalakhoz és az átlókhoz tartozó látókörívek a négyzet oldalainak meghosszabbításán csatlakoznak egymáshoz (AEB=CEB); ezért a mértani hely egy, a 3. ábrán látható alakzat (8 ívdarab).
 
 

3. ábra
 

Ha az adott szög hegyesszögnél nagyobb, akkor az átlók látókörívei a négyzet belsejében helyezkednek el, a mértani helynek az 5.‐8. síkrészekben nincs pontja. Ilyen esetben a keresett mértani hely a 4. ábrán látható négy körívből álló alakzat.
 
 

4. ábra
 

Végül ha α=90, úgy a négyzet csúcsai is a mértani helyhez tartoznak.