Kezdőlap


Feladat:	Gy.2641	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1991/május, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek, Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2641

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ismert Cauchy‐Schwarz‐Bunyakovszkij egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) ≧ {(a x + b y + c z)}^{2} & (1) \end{matrix}

tetszőleges

a

b

c

x

y

z

valós számokra, és (1)-ben pontosan akkor van egyenlőség, ha létezik olyan

λ

valós szám, hogy

\begin{matrix} a = λ x, b = λ y és c = λ z . \end{matrix}

Vegyük észre, hogy a feladat feltételei szerint most (1)-ben egyenlőség van:

a x

b y

c z

értéke

30

, éppen a mértani közepe

a^{2} + b^{2} + c^{2}

és

x^{2} + y^{2} + z^{2}

adott értékeinek, a

25

-nekés a

36

-nak. Így az egyenlőség feltételét használva

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = λ^{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2}), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} λ^{2} = 25 / 36, tehát | λ | = \frac{5}{6} . \end{matrix}

Tudjuk másfelől, hogy

\begin{matrix} 30 = a x + b y + c z = λ (x^{2} + y^{2} + z^{2}), \end{matrix}

ezért

λ

pozitív, azaz

λ = 5 / 6

.
A vizsgált hányados értéke ekkor

\begin{matrix} \frac{a + b + c}{x + y + z} = \frac{λ (x + y + z)}{x + y + z} = λ, \end{matrix}

tehát a keresett érték

5 / 6

Megjegyzés. Nyilván léteznek a megadott feltételeknek eleget tevő valós számok, például

a = 5, b = c = 0; x = 6; y = z = 0