Kezdőlap


Feladat:	Gy.2639	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1991/április, 159 - 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Kombinatorikus geometria síkban, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2639

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat valójában a létrejövő téglalapok számának meghatározását jelenti 9, illetve $n$ egyenes esetén. Erre mutatunk be az alábbiakban két lehetőséget:
a) Egy téglalapot egyértelműen határoz meg a két-két párhuzamos oldalegyenese. A 9 "vízszintes'' közül $(\binom{9}{2}),$ az $n$ darab "függőleges'' közül pedig $(\binom{n}{2})$ -féleképpen választhatunk ki kettőt-kettőt.
A téglalapok száma eszerint

\begin{matrix} (\binom{9}{2}) \cdot (\binom{n}{2}) = 18 n (n - 1) . \end{matrix}

b) A megrajzolt hálózatban minden egyes téglalapot egyértelműen meghatároznak az átlói. Mivel a rácspontok száma

9 n

, az egyik átlóvégpontot ennyiféleképpen választhatjuk ki. A másik végpont nem lehet a kiválasztott ponttal sem egy sorban, sem egy oszlopban, így ezt

(9 - 1) (n - 1) = 8 (n - 1)

-féleképpen választhatjuk ki.
Ezzel egyfelől minden átlót kétszer számoltunk, másrészt minden egyes téglalapot mindkét átlója szerint számba vettünk, tehát a keletkező téglalapok száma

\begin{matrix} \frac{9 n \cdot 8 (n - 1)}{4} = 18 n (n - 1) . \end{matrix}

18 n (n - 1) = 756

egyenletet megoldva

n

-re két gyököt kapunk:

- 6

és

7

. Előbbi nyilván nem megoldás, ezért az

n

értéke 7.