Feladat: Gy.2639 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1991/április, 159 - 160. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Kombinatorikus geometria síkban, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/szeptember: Gy.2639

A síkon kilenc párhuzamos egyenes n darab ugyancsak párhuzamos egyenest metsz, amelyek mindegyike merőleges az első kilencre. Az egyenesek összesen 756 darab téglalapot határoznak meg. Mennyi az n?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A feladat valójában a létrejövő téglalapok számának meghatározását jelenti 9, illetve n egyenes esetén. Erre mutatunk be az alábbiakban két lehetőséget:
a) Egy téglalapot egyértelműen határoz meg a két-két párhuzamos oldalegyenese. A 9 "vízszintes'' közül (92), az n  darab "függőleges'' közül pedig (n2)-féleképpen választhatunk ki kettőt-kettőt.
A téglalapok száma eszerint

(92)(n2)=18n(n-1).

 

b) A megrajzolt hálózatban minden egyes téglalapot egyértelműen meghatároznak az átlói. Mivel a rácspontok száma 9n, az egyik átlóvégpontot ennyiféleképpen választhatjuk ki. A másik végpont nem lehet a kiválasztott ponttal sem egy sorban, sem egy oszlopban, így ezt (9-1)(n-1)=8(n-1)-féleképpen választhatjuk ki.
Ezzel egyfelől minden átlót kétszer számoltunk, másrészt minden egyes téglalapot mindkét átlója szerint számba vettünk, tehát a keletkező téglalapok száma
 

9n8(n-1)4=18n(n-1).

 

A 18n(n-1)=756 egyenletet megoldva n-re két gyököt kapunk: -6 és 7. Előbbi nyilván nem megoldás, ezért az n értéke 7.