Kezdőlap


Feladat:	Gy.2636	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Álmos Attila , Besenyi Orsolya , Besenyi Zsuzsanna , Csekő Zoltán , Csorba Péter , Elek Márta , Farkas Zénó , Győry Máté , Honti Balázs , Horváth Gábor , Hradek Viktória , Huncsik Péter , Imreh Csanád , K. L. , Kálmán Tamás , Katz Sándor , Kerekes Balázs , Klészátl Melinda , Komócsi Sándor , Komócsin Laura , Kovács Emília , Lente Gábor , Mándoki Gábor , Matolcsi Máté , Megyesi Zoltán , Molnár-Sáska Gábor , Nagy Gábor , Nagy Judit , Pintér Zsuzsa , Ratkó Éva , Reiff Ádám , Risbjerg Anna , Stőhr Lóránt , Szatmári Alexandra , Szűcs Tamás , Tichy Eszter , Ungár György , Vangel Attila , Varga Béla , Varjú Katalin , Zámborszky Ferenc
Füzet:	1991/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Magasságvonal, Terület, felszín, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Heron-képlet, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/május: Gy.2636

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a háromszög súlyvonalait $s_{a}, s_{b}, s_{c}$ -vel. Tudjuk, hogy a súlyvonal nem kisebb, mint a megfelelő magasságvonal, ezért:

\begin{matrix} m_{a} \cdot m_{b} + m_{b} \cdot m_{c} + m_{c} \cdot m_{a} ≦ s_{a} \cdot s_{b} + s_{b} \cdot s_{c} + s_{c} \cdot s_{a} . \end{matrix}

(1)

A számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenség szerint tetszőleges

x, y

(pozitív) számok esetén

x \cdot y ≦ \frac{x^{2} + y^{2}}{2}

, így

\begin{matrix} s_{a} \cdot s_{b} + s_{b} \cdot s_{c} + s_{c} \cdot s_{a} ≦ \frac{{s_{a}}^{2} + {s_{b}}^{2}}{2} + \frac{{s_{b}}^{2} + {s_{c}}^{2}}{2} + \frac{{s_{c}}^{2} + {s_{a}}^{2}}{2} = {s_{a}}^{2} + {s_{b}}^{2} + {s_{c}}^{2} . \end{matrix}

(2)

A súlyvonalak négyzetét viszont kifejezhetjük a háromszög oldalaival (ennek az ismert képletnek a bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1673/a és 1671. feladataiban):

\begin{matrix} s_{a}^{2} + {s_{b}}^{2} + {s_{c}}^{2} = \frac{1}{4} [(2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}) + (2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}) + (2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2})] = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) képletek együtt éppen a bizonyítandó egyenlőtlenséget adják. Az is látszik, hogy egyenlőség pontosan akkor van, ha a háromszög szabályos.

Nagy Judit (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. Jelöljük a háromszög területét

T

-vel. Az ismert területképlet alapján

m_{a} = \frac{2 T}{a}, m_{b} = \frac{2 T}{b}, m_{c} = \frac{2 T}{c}

, vagyis a bizonyítandó egyenlőtlenség a következő alakot ölti:

\begin{matrix} \frac{4 T^{2}}{a b} + \frac{4 T^{2}}{b c} + \frac{4 T^{2}}{c a} ≦ \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

Rendezve, és felhasználva Heron képletét, mely szerint

\begin{matrix} T^{2} = \frac{1}{16} (a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (b + c - a) \end{matrix}

(ennek bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. 1472 feladatában), a kérdéses egyenlőtlenség így alakul:

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{2} (a + b - c) (a - b + c) (b + c - a) ≦ 3 a b c (a^{2} + b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

(4)

Ezt ‐ a bizonyítandóval ekvivalens ‐ egyenlőtlenséget két részre bontva igazoljuk. Tudjuk, hogy:

\begin{matrix} \sqrt[]{(a + b - c) (a + c - b)} = \sqrt[]{a^{2} - {(b - c)}^{2}} ≦ \sqrt[]{a^{2}} = a, \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[]{(a + b - c) (b + c - a)} = \sqrt[]{b^{2} - {(a - c)}^{2}} ≦ \sqrt[]{b^{2}} = b, \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[]{(a + c - b) (b + c - a)} = \sqrt[]{c^{2} - {(b - a)}^{2}} ≦ \sqrt[]{c^{2}} = c . \end{matrix}

Ezeket összeszorozva kapjuk, hogy:

\begin{matrix} (a + b - c) (a - b + c) (b + c - a) ≦ a b c . \end{matrix}

(5)

Másrészt fennáll, hogy

\begin{matrix} {(a + b + c)}^{2} ≦ 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2}), \end{matrix}

(6)

hiszen ezt rendezve a nyilvánvaló

\begin{matrix} 0 ≦ 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 a b - 2 b c - 2 c a = {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \end{matrix}

egyenlőtlenséghez jutunk. (5)-öt és (6)-ot összeszorozva éppen (4)-et kapjuk.

Farkas Zénó (Győr, Révai M. Gimn., I. o. t.)