A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Az állítást úgy bizonyítjuk, hogy nem a négy adott síkhoz keresünk megfelelő tetraédert, hanem előbb egy adott szabályos tetraéderhez keresünk négy párhuzamos síkot úgy, hogy a síkok távolságainak aránya megegyezzen a négy adott sík távolságainak arányával. Elegendő megmutatnunk, hogy egy adott tetraéderhez létezik négy ilyen sík, hiszen ekkor egy megfelelő arányú nagyítással elérhető, hogy a síkok távolságai megegyezzenek a négy adott sík távolságával, s a nagyított tetraéder ‐ amely hasonló az eredetihez ‐ csúcsai pedig illeszkednek ezekre a síkokra.
1. ábra
2. ábra Legyen a négy adott sík és és a legtávolabbiak ‐, az távolságok rendre (1. ábra), pedig legyen egy tetszőleges szabályos tetraéder. Legyenek és a tetraéder élének azok a pontjai, melyekre (2. ábra). A és a egyenesek kitérőek, mert ha egy síkban lennének, akkor az eredeti tetraéder és élei is egysíkúak lennének. Ezért egyértelműen léteznek olyan és síkok, amelyek egymással párhuzamosak, tartalmazza a pedig a szakaszt. (Ha a -n átmenő, -vel párhuzamos egyenes, akkor éppen a sík.) Legyen illetve az -t, illetve -t tartalmazó, -vel és -vel párhuzamos sík. Ekkor a párhuzamos szelők tétele miatt az síkpárok távolságainak aránya éppen , vagyis , tehát megegyezik az síkpárok távolságainak arányával. Megjegyzés. A bizonyítás során nem használtuk ki, hogy az tetraéder szabályos, így állításunk általánosabb formában is igaz: Ha adott egy tetszőleges tetraéder és négy párhuzamos sík, akkor létezik olyan tetraéder, mely az adotthoz hasonló és mind a négy síkban van csúcsa.
Dombi Gergely (Pécs, JPTE 1. sz. Gyak. Ált. Isk., 7. o. t.) |