Feladat: Gy.2630 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi Gergely ,  Matolcsi Máté ,  Nagy Judit 
Füzet: 1991/március, 117 - 118. oldal  PDF file
Témakör(ök): Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Térgeometriai bizonyítások, Szabályos tetraéder, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/április: Gy.2630

Adott négy párhuzamos sík. Mutassuk meg, hogy van olyan szabályos tetraéder, amelynek mind a négy síkon van csúcsa.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az állítást úgy bizonyítjuk, hogy nem a négy adott síkhoz keresünk megfelelő tetraédert, hanem előbb egy adott szabályos tetraéderhez keresünk négy párhuzamos síkot úgy, hogy a síkok távolságainak aránya megegyezzen a négy adott sík távolságainak arányával. Elegendő megmutatnunk, hogy egy adott tetraéderhez létezik négy ilyen sík, hiszen ekkor egy megfelelő arányú nagyítással elérhető, hogy a síkok távolságai megegyezzenek a négy adott sík távolságával, s a nagyított tetraéder ‐ amely hasonló az eredetihez ‐ csúcsai pedig illeszkednek ezekre a síkokra.

 
 

1. ábra
 

 
 

2. ábra
 

Legyen a négy adott sík S1,S2,S3 és S4,-S1 és S4 a legtávolabbiak ‐, az S1S2,S2S3,S3S4 távolságok rendre d1,d2,d3 (1. ábra), ABCD pedig legyen egy tetszőleges szabályos tetraéder. Legyenek P és Q a tetraéder AB élének azok a pontjai, melyekre AP:PQ:QB=d1:d2:d3 (2. ábra).
A PD és a QC egyenesek kitérőek, mert ha egy síkban lennének, akkor az eredeti tetraéder AB és CD élei is egysíkúak lennének. Ezért egyértelműen léteznek olyan S'2 és S'3 síkok, amelyek egymással párhuzamosak, S'2 tartalmazza a PD,S'3 pedig a QC szakaszt. (Ha PR a P-n átmenő, QC-vel párhuzamos egyenes, akkor S'2 éppen a PRD sík.) Legyen S'1 illetve S'4 az A-t, illetve B-t tartalmazó, S'2-vel és S'3-vel párhuzamos sík. Ekkor a párhuzamos szelők tétele miatt azS'1S'2,S'2S'3,S'3S'4 síkpárok távolságainak aránya éppen AP:PQ:QB, vagyis d1:d2:d3, tehát megegyezik az S1S2,S2S3,S3S4 síkpárok távolságainak arányával.
 

Megjegyzés. A bizonyítás során nem használtuk ki, hogy az ABCD tetraéder szabályos, így állításunk általánosabb formában is igaz:
Ha adott egy tetszőleges tetraéder és négy párhuzamos sík, akkor létezik olyan tetraéder, mely az adotthoz hasonló és mind a négy síkban van csúcsa.
 

 Dombi Gergely (Pécs, JPTE 1. sz. Gyak. Ált. Isk., 7. o. t.)