Kezdőlap


Feladat:	Gy.2614	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bíró Tamás , Csekő Zoltán , Matolcsi Máté
Füzet:	1991/január, 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: Gy.2614

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy a $2001$ megoldása az egyenletnek, ugyanis ekkor a gyökjelek alatt minden esetben $1$ van, és így az egyenlet mindkét oldalán $1 + 1 = 2$ áll. Megmutatjuk, hogy egyenletünknek nincsen más megoldása.
Az egyenlet értelmezési tartománya az $1991$ -nél nagyobb, vagy egyenlő valós számokból áll. Bevezetve az $y = x - 2001$ változót, a valamivel egyszerűbb

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{y}{10} + 1} + \sqrt[]{\frac{y}{11} + 1} = \sqrt[]{\frac{y}{1991} + 1} + \sqrt[]{\frac{y}{1990} + 1}, y ≧ - 10 \end{matrix}

egyenletet kapjuk.
Ha

y > 0,

akkor nyilván

\begin{matrix} \frac{y}{10} > \frac{y}{1991} és \frac{y}{11} > \frac{y}{1990}, \end{matrix}

így a bal oldalon nagyobb pozitív számok négyzetgyökének összege áll, mint a jobb oldalon, ekkor tehát a bal oldal értéke nagyobb.
Ha

- 10 \leq y < 0

, akkor a fenti egyenlőtlenségek megfordulnak, a négyzetgyökök alatt pedig az e számoknál rendre

1

-gyel nagyobb, immár nem negatív számok állnak. Ebben az esetben tehát az egyenlet jobb oldalának értéke lesz nagyobb, mint a bal oldalé. Valóban nincsen tehát az egyenletnek a már megtalált

y = 0

azaz

x = 2001

‐ értéktől különböző megoldása.

Matolcsi Máté (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)