Feladat: Gy.2614 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bíró Tamás ,  Csekő Zoltán ,  Matolcsi Máté 
Füzet: 1991/január, 19. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/március: Gy.2614

Oldjuk meg a következő egyenletet:
x-199110+x-199011=x-101991+x-111990.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy a 2001 megoldása az egyenletnek, ugyanis ekkor a gyökjelek alatt minden esetben 1 van, és így az egyenlet mindkét oldalán 1+1=2 áll. Megmutatjuk, hogy egyenletünknek nincsen más megoldása.
Az egyenlet értelmezési tartománya az 1991-nél nagyobb, vagy egyenlő valós számokból áll. Bevezetve az y=x-2001 változót, a valamivel egyszerűbb

y10+1+y11+1=y1991+1+y1990+1,y-10
egyenletet kapjuk.
Ha y>0, akkor nyilván
y10>y1991ésy11>y1990,
így a bal oldalon nagyobb pozitív számok négyzetgyökének összege áll, mint a jobb oldalon, ekkor tehát a bal oldal értéke nagyobb.
Ha -10y<0, akkor a fenti egyenlőtlenségek megfordulnak, a négyzetgyökök alatt pedig az e számoknál rendre 1-gyel nagyobb, immár nem negatív számok állnak. Ebben az esetben tehát az egyenlet jobb oldalának értéke lesz nagyobb, mint a bal oldalé. Valóban nincsen tehát az egyenletnek a már megtalált y=0 azaz x=2001 ‐ értéktől különböző megoldása.
 
 Matolcsi Máté (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)