Kezdőlap


Feladat:	Gy.2610	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Elek Csaba , K. L. , Miskolci Katalin , Nagy Judit , Szűts Dávid , Zsenei András
Füzet:	1991/február, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/február: Gy.2610

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $O A_{i} B_{i}$ háromszögben $B_{i} O A_{i} ∢ = 30^{\circ}, O A_{i} B_{i} ∢ = 120^{\circ}$ , ezért $O B_{i} A_{i} ∢ = 180^{\circ} - (B_{i} O A_{i} ∢ + O A_{i} B_{i} ∢) = 30^{\circ}$ .

O B_{i} A_{i + 1}

szögek derékszögek, ezért

B_{i + 1} B_{i} A_{i + 1} ∢ = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}

. Tehát a

B_{i + 1} B_{i} A_{i + 1}

háromszögben van egy derékszög és egy

30

fokos szög. Ezért

B_{i} A_{i + 1} B_{i + 1} ∢ = 60^{\circ}

és

\begin{matrix} 2 B_{i} A_{i + 1} = A_{i + 1} B_{i + 1} . \end{matrix}

(1)

Mivel

O A_{i} B_{i} ∢ = 120^{\circ}

, ezért

O A_{i + 1} B_{i} ∢ = O A_{i + 1} B_{i + 1} ∢ - B_{i} A_{i + 1} B_{i + 1} ∢ = 120^{\circ} - 60^{\circ} = 60^{\circ}

, és

B_{i} A_{i} A_{i + 1} ∢ = 180^{\circ} - O A_{i} B_{i} ∢ = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}

, tehát a

B_{i} A_{i} A_{i + 1}

háromszögben két

60

fokos szög van, vagyis ezek a háromszögek szabályosak. Ezért

A_{i} A_{i + 1} = B_{i} A_{i + 1}

, és

A_{i + 1} B_{i + 1} = A_{i + 1} A_{i + 2}

, tehát (1)-ből kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{A_{i + 1} A_{i + 2}}{A_{i} A_{i + 1}} = 2. \end{matrix}

Ezért:

\begin{matrix} \frac{A_{48} A_{49}}{A_{1} A_{2}} = \frac{A_{48} A_{49}}{A_{47} A_{48}} \cdot \frac{A_{47} A_{48}}{A_{46} A_{47}} \cdot_{...} \cdot \frac{A_{2} A_{3}}{A_{1} A_{2}} = 2^{47} . \end{matrix}

Mivel

A_{1} B_{1} A_{2}

és

A_{48} B_{48} A_{49}

szabályos háromszögek lévén hasonlóak, ezért területük aránya megegyezik megfelelő oldalaik arányának négyzetével. Tehát a keresett arány:

\begin{matrix} 1 : {(2^{47})}^{2} = 1 : 2^{94} . \end{matrix}

Nagy Judit (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján