A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen a keresett polinom fokszáma . A b) feltételből következik, hogy a polinomnak darab gyöke van. Ekkor a polinom felírható a következő alakban: | | ahol a polinom főegyütthatója és , , , a polinom gyökei. A d) feltétel szerint
Mivel a jobb oldalon álló szorzat tényezői a) és c) szerint egészek, minden tényező abszolút értéke . Így a polinomnak csak és lehetnek a gyökei, ugyanúgy is vagy . Legyen a polinomnak a -szeres, a -szoros gyöke, . Ekkor tehát e) szerint Mivel a szorzat pozitív, értéke szükségképpen . Így ahonnan Az és természetes számok lévén, azaz : Tehát legfeljebb lehet, ezért legalább . Így a legalacsonyabb fokszámú polinom, amelyre mind az feltétel teljesül, negyedfokú: | |
Ujváry-Menyhárt Zoltán (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
Megjegyzés: Látható, hogy annyi polinomra teljesülnek a feladat feltételei, ahány nem negatív egész megoldása van a egyenletnek. Ez három lehetőség: ; és , . A megfelelő polinomok:
|