Kezdőlap


Feladat:	Gy.2608	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ujváry-Menyhárt Zoltán
Füzet:	1991/február, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Diofantikus egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/február: Gy.2608

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a keresett polinom fokszáma $n$ . A b) feltételből következik, hogy a polinomnak $n$ darab gyöke van. Ekkor a polinom felírható a következő alakban:

\begin{matrix} p (x) = a (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot ... \cdot (x - x_{n}), \end{matrix}

ahol

a

p (x)

polinom főegyütthatója és

x_{1}

x_{2}

...

x_{n}

a polinom gyökei. A d) feltétel szerint

\begin{matrix} - 1 = p (0) = a (0 - x_{1}) \cdot (0 - x_{2}) \cdot ... \cdot (0 - x_{n}) = {(- 1)}^{n} \cdot a \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot ... \cdot x_{n}, \\ ezért {(- 1)}^{n + 1} = a \cdot x_{1} \cdot x_{2} \cdot ... \cdot x_{n} . \end{matrix}

Mivel a jobb oldalon álló szorzat tényezői a) és c) szerint egészek, minden tényező abszolút értéke

1

. Így a polinomnak csak

a + 1

és

a - 1

lehetnek a gyökei, ugyanúgy

a

+ 1

vagy

- 1

. Legyen a polinomnak a

(+ 1) l

-szeres, a

(- 1) k

-szoros gyöke,

k + l = n

. Ekkor

\begin{matrix} p (x) = a {(x - 1)}^{l} \cdot {(x + 1)}^{k}, \end{matrix}

tehát e) szerint

\begin{matrix} 128 = p (3) = a \cdot 2^{l} \cdot 4^{k} . \end{matrix}

Mivel a

2^{l} \cdot 4^{k}

szorzat pozitív,

a

értéke szükségképpen

+ 1

. Így

\begin{matrix} 128 = 2^{7} = 2^{l} \cdot 4^{k} = 2^{l + 2 k}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} 7 = l + 2 k = (l + k) + k = n + k . \end{matrix}

l

és

k

természetes számok lévén,

\begin{matrix} 7 ≧ 2 k, \end{matrix}

azaz

3 ≧ k

:
Tehát

k

legfeljebb

3

lehet, ezért

n

legalább

4

. Így a legalacsonyabb fokszámú

p (x)

polinom, amelyre mind az

5

feltétel teljesül, negyedfokú:

\begin{matrix} p (x) = (x - 1) {(x + 1)}^{3} = x^{4} + 2 x^{3} - 2 x - 1. \end{matrix}

Ujváry-Menyhárt Zoltán (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés: Látható, hogy annyi polinomra teljesülnek a feladat feltételei, ahány nem negatív egész megoldása van a

\begin{matrix} 7 = l + 2 k \end{matrix}

egyenletnek. Ez három lehetőség:

l = 1, k = 3

;

l = 3, k = 2

és

l = 5

k = 1

.
A megfelelő polinomok:

\begin{matrix} p_{1} (x) = & (x - 1) {(x + 1)}^{3}; \\ p_{2} (x) = & {(x - 1)}^{3} {(x + 1)}^{2}; \\ p_{3} (x) = & {(x - 1)}^{5} (x + 1) . \end{matrix}