Feladat: Gy.2592 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bozsó Ferenc ,  Csorba Péter ,  Csörnyei Marianna ,  Faragó Gergely ,  Farkas Zénó ,  Ferencz Krisztina ,  Gacsályi Zsolt ,  Galambos István ,  Garzó Dénes ,  Győry Máté ,  Halász Domonkos ,  Hegedűs Pál ,  Imolay Olivér ,  Imreh Csanád ,  Ittzés Dániel ,  Katz Sándor ,  Keresztély Viktória ,  Komócsi Sándor ,  Koós Gábor ,  Kotnyek Balázs ,  Lente Gábor ,  Matolcsi Máté ,  Molnár-Sáska Gábor ,  Nagy Judit ,  Nemes Norbert ,  Olaszi Zsolt ,  Osváth András ,  Pataki Gergely ,  Perlaki Tamás ,  Piróth Attila ,  Risbjerg Anna ,  Sallai László ,  Szendrei Tamás ,  Szendrői Balázs ,  Szijártó Miklós ,  Tegzes Pál ,  Tichy Eszter ,  Újváry-Menyhárt Zoltán ,  Veres Tamás ,  Virág Bálint ,  Winter Katalin 
Füzet: 1990/november, 391. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/december: Gy.2592

Oldjuk meg az alábbi egyenletet, ha x és y egész számok:
x2+x=y4+y3+y2+y.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

x2+x=y4+y3+y2+y.(1)

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 4-gyel és adjunk mindkét oldalhoz 1-et. Így a bal oldal teljes négyzet. A jobb oldalon is kíséreljünk meg teljes négyzetté alakítani. Így a
(2x+1)2=(2y2+y+1)2-(y2-2y)=(2y2+y)2+(3y2+4y+1)
egyenlethez jutunk. Ha y egész szám és nem egyenlő a -1, 0, 1, 2 értékek egyikével sem, akkor az egyenlet jobb oldalának két alakjából
(2y2+y)2<(2x+1)2<(2y2+y+1)2,
így (2x+1)2 két szomszédos négyzetszám közé esik, tehát nem lehet egy egész szám négyzete.
Ha y=-1 vagy 0, akkor (1)-ből x2+x=0, azaz x=0, vagy x=-1.
Ha y=1, akkor (1)-ből x2+x=4, ilyen x egész nem létezik.
Ha y=2, akkor (1)-ből x2+x=30, így x=5, vagy x=-6.
Az (1) egyenletnek tehát hat megoldása van az egész számok körében, ezek: (-1;-1), (-1;0), (0;-1), (0;0), (5;2), (-6;2)
 
Megjegyzés. Úgy is eljuthatunk a megoldáshoz, ha az (1) egyenletet x-ben másodfokúnak tekintve az egyenlet diszkriminánsát vizsgáljuk.