Kezdőlap


Feladat:	Gy.2576	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ábrók M. , Jakab Cs. , Nógrádi Z.
Füzet:	1990/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenség-rendszerek, Négyzetszámok összege, Indirekt bizonyítási mód, Játékelmélet, játékok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/október: Gy.2576

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel a körmérkőzések lehetséges végeredményeinek halmaza véges, létezik a bajnokságnak olyan kimenetele (lehet, hogy több is), amikor a pontszámok négyzetösszege maximális. Megmutatjuk, hogy ebben az esetben a pontszámok között nem lehetnek egyenlők. Tegyük fel ugyanis, hogy a bajnokság végén van két csapat, melyek pontszáma egyaránt $p$ . Ekkor kettejük mérkőzésének győztese legalább 1 pontot szerzett, vesztese pedig legalább 1-et veszített, így $1 \leq p \leq 8$ . Tekintsük most a bajnokságnak azt a kimenetelét, ahol e két csapat mérkőzése fordítva alakult, a további mérkőzések pedig ugyanúgy. Ebben az esetben a pontszámok négyzetösszege ${(p + 1)}^{2} + {(p - 1)}^{2} - 2 p^{2} = 2$ -vel nő, így eredetileg nem lehetett maximális.

A pontszámok négyzetösszege tehát csak akkor maximális, ha az egyes csapatok pontszámai között nincsenek egyenlők; ilyenkor a pontszámok szükségképpen

9,8,7,6,5,4,3,2,1,0

, négyzetösszegük pedig éppen 285.

II. megoldás. Felhasználjuk a következő egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} x_{1} \geq x_{2} \geq ... \geq x_{n} \geq 0, \end{matrix}

a_{i}

b_{i}

valósak, és minden

1 \leq k \leq n

mellett

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + ... + a_{k} \leq b_{1} + b_{2} + ... + b_{k}, \end{matrix}

akkor

\begin{matrix} a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + ... + a_{n} x_{n} \leq b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + ... + b_{n} x_{n} . \end{matrix}

(1)

Az egyenlőtlenség bizonyítása ezen számunk 145. oldalán olvasható az Abel-féle átrendezésről c. cikkben.
Ha most az

n

résztvevős bajnokság résztvevői csökkenő sorrendben rendre

p_{1}

p_{2}

...

p_{n}

pontot szereztek, akkor az első

k

helyezett az egymás közti mérkőzéseken összesen

\frac{k (k - 1)}{2}

pontot veszített, ezért

p_{1} + p_{2} + ... + p_{k} \leq (n - 1) + + (n - 2) + ... + (n - k)

, ahol

1 \leq k \leq n

.
Így (1) szerint

x_{i} = a_{i} = p_{i}

b_{i} = n - i

választással

\begin{matrix} p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + ... + p_{n}^{2} \leq (n - 1) p_{1} + (n - 2) p_{2} + ... + (n - n) p_{n} . \end{matrix}

(2)

A kapott egyenlőtlenség jobb oldala tovább becsülhető felülről (1) szerint, ha ezúttal az

\begin{matrix} x_{i} = b_{i} = n - i, a_{i} = p_{i} \end{matrix}

választással élünk.
Ekkor

\begin{matrix} p_{1} (n - 1) + p_{2} (n - 2) + ... + p_{n} (n - n) \leq {(n - 1)}^{2} + {(n - 2)}^{2} + ... + {(n - n)}^{2} . \end{matrix}

(3)

(1) és (3) alapján tehát

\begin{matrix} p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + ... + p_{n}^{2}, \leq {(n - 1)}^{2} + ... + 1^{2}, \end{matrix}

(4)

és itt nyilván pontosan akkor áll egyenlőség, ha

p_{i} = n - i

.
A feladatban

n = 10

; ekkor (4) jobb oldalán az első kilenc pozitív egész négyzetösszege, 285 áll.