Feladat: Gy.2558 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dombi Gergely 
Füzet: 1990/január, 20. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Prímtényezős felbontás, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/május: Gy.2558

Milyen p és q prímszámra és n természetes számra teljesül az
p+qn=p-q
egyenlet?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenletből egyrészt p>q, másfelől

p+q=(p-q)n.(1)
A bal oldalon (p-q)+2q áll, ezért
(p-q)|2q.
A q prím, így a 2q osztói csak 1, 2, q és 2q. Ha p-q=1, akkor (1)-ben p+q=1, ami nem lehet. Ha p-q=q vagy p-q=2q, akkor p=2q, vagy p=3q, tehát a p nem prímszám. Így csak
p-q=2(2)
lehetséges, azaz p és q ikerprímek.
Az (1)-ből és (2)-ből álló egyenletrendszert megoldva
p=2n-1+1,q=2n-1-1.



Mivel a 2n-1-1, 2n-1, 2n-1+1 számok közül pontosan egy osztható 3-mal és ez nem a középső 2n-1, ezért p és q egyike 3-mal osztható, tehát csak úgy lehet prímszám, ha éppen 3. Ha p=3, akkor q=1, ami nem prím; ha pedig q=3, akkor p=5.
Az (1) összefüggésből ekkor
8=p+q=(p-q)n=2n,
ahonnan n=3.
A feladat egyetlen megoldása így
p=5,q=3,n=3.

 

 Dombi Gergely (Pécs, JPTE I. sz. Gyak. Ált. Isk., 6. o. t.)