A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy az ötszög átlójának felezőpontja eleget tesz a feltételeknek.
1. ábra Jelöljük az pontból az ötszög , , , csúcsába mutató vektorokat rendre , , , -vel. Tudjuk, hogy egy négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha két szemközti oldalvektora egyenlő. Elegendő tehát megmutatnunk, hogy és . Egy szakasz felezőpontjába mutató vektor egyenlő a szakasz végpontjaiba mutató vektorok számtani közepével, így
Ezzel állításunkat beláttuk. Megjegyzés. A feladatot a háromszögek és négyszögek középvonalára vonatkozó tételek segítségével is be lehet látni, ekkor azonban a konkáv ötszög esete ‐ amelynek vizsgálatáról sok megoldó megfeledkezett ‐ némi diszkussziót igényel. Konkáv ötszögnél előfordulhat, hogy a paralelogrammák egyike elfajul (2. ábra).
2. ábra
|
|