Kezdőlap


Feladat:	Gy.2546	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/december, 457. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középvonal, Négyszögek középvonalai, Egyéb sokszögek geometriája, Vektorok lineáris kombinációi, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/március: Gy.2546

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy az ötszög $A D$ átlójának $P$ felezőpontja eleget tesz a feltételeknek.

1. ábra

Jelöljük az

A

pontból az ötszög

B

C

D

E

csúcsába mutató vektorokat rendre

2 b

2 c

2 d

2 e

-vel. Tudjuk, hogy egy négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha két szemközti oldalvektora egyenlő. Elegendő tehát megmutatnunk, hogy

\vec{A_{1} A_{2}} = \vec{P A_{3}}

és

\vec{A P} = \vec{A_{5} A_{4}}

. Egy szakasz felezőpontjába mutató vektor egyenlő a szakasz végpontjaiba mutató vektorok számtani közepével, így

\begin{matrix} \vec{A_{1} A_{2}} = \vec{A A_{2}} - \vec{A A_{1}} = (b + c) - b = c, \\ \vec{P A_{3}} = \vec{A A_{3}} - \vec{A P} = (c + d) - d = c, \\ \vec{A P} = d, \\ \vec{A_{5} A_{4}} = \vec{A A_{4}} - \vec{A A_{5}} = (d + e) - e = d . \end{matrix}

Ezzel állításunkat beláttuk.

Megjegyzés. A feladatot a háromszögek és négyszögek középvonalára vonatkozó tételek segítségével is be lehet látni, ekkor azonban a konkáv ötszög esete ‐ amelynek vizsgálatáról sok megoldó megfeledkezett ‐ némi diszkussziót igényel. Konkáv ötszögnél előfordulhat, hogy a paralelogrammák egyike elfajul (2. ábra).

2. ábra