Kezdőlap


Feladat:	Gy.2543	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás Gy. , Boncz A. , Czirók András , Győry M. , Harcos G. , Kiss 128 I. , Kovács F. , Molnár Sáska G. , Németh S. (Győr) , Patócs Barbara , Rátonyi J. , Szalkai Á. , Szendrői B. , Újváry-Menyhárt Zoltán
Füzet:	1989/november, 395. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Oszthatósági feladatok, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/március: Gy.2543

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A megoldás során felhasználjuk azt a jólismert tényt, hogy egy racionális szám négyzete pontosan akkor egész, ha a szám is az: más szóval egy nem négyzetszám négyzetgyöke irracionális.
Ha $x$ és $y$ a két adott racionális szám, akkor a feltétel szerint $(x + y)$ és $4 x y$ is egész számok, ezért

\begin{matrix} {(x - y)}^{2} = {(x + y)}^{2} - 4 x y \end{matrix}

is az. Az idézett tétel szerint tehát

x - y

is egész szám és így

(x + y) + (x - y) = 2 x

, illetve

(x + y) - (x - y) = 2 y

is egész számok. Ily módon

x

és

y

egy-egy egész szám fele. E két szám összege páros, szorzata pedig osztható 4-gyel. Igy mindkét egész szám páros, ami azt jelenti, hogy

x

és

y

valóban egész számok.

Czirók András II. o. t. (Miskolc, Földes F. Gimn.)

II. megoldás. Legyen a két racionális szám

x

és

y

. Ekkor a feltétel szerint

A = x + y

és

B = x y

egész számok. Tekintsük a

\begin{matrix} t^{2} - A t + B = 0 \end{matrix}

egyenletet. Ennek éppen

x

és

y

a gyöke. Ismeretes, hogy egy egész együtthatós polinom racionális gyökeinek egyszerűsített alakjában a nevező osztója a legmagasabb fokú tagja együtthatójának. Ez azt jelenti, hogy ha egy egész együtthatós polinom legmagasabb fokú tagjának együtthatója. 1, akkor a polinom racionális gyökei egész számok. Ez éppen a bizonyítandó állítást adja.