|
Feladat: |
Gy.2543 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Barabás Gy. , Boncz A. , Czirók András , Győry M. , Harcos G. , Kiss 128 I. , Kovács F. , Molnár Sáska G. , Németh S. (Győr) , Patócs Barbara , Rátonyi J. , Szalkai Á. , Szendrői B. , Újváry-Menyhárt Zoltán |
Füzet: |
1989/november,
395. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Racionális számok és tulajdonságaik, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Oszthatósági feladatok, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1989/március: Gy.2543 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A megoldás során felhasználjuk azt a jólismert tényt, hogy egy racionális szám négyzete pontosan akkor egész, ha a szám is az: más szóval egy nem négyzetszám négyzetgyöke irracionális. Ha és a két adott racionális szám, akkor a feltétel szerint és is egész számok, ezért is az. Az idézett tétel szerint tehát is egész szám és így , illetve is egész számok. Ily módon és egy-egy egész szám fele. E két szám összege páros, szorzata pedig osztható 4-gyel. Igy mindkét egész szám páros, ami azt jelenti, hogy és valóban egész számok. Czirók András II. o. t. (Miskolc, Földes F. Gimn.) II. megoldás. Legyen a két racionális szám és . Ekkor a feltétel szerint és egész számok. Tekintsük a egyenletet. Ennek éppen és a gyöke. Ismeretes, hogy egy egész együtthatós polinom racionális gyökeinek egyszerűsített alakjában a nevező osztója a legmagasabb fokú tagja együtthatójának. Ez azt jelenti, hogy ha egy egész együtthatós polinom legmagasabb fokú tagjának együtthatója. 1, akkor a polinom racionális gyökei egész számok. Ez éppen a bizonyítandó állítást adja. |
|