Kezdőlap


Feladat:	Gy.2539	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna
Füzet:	1989/november, 393. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Terület, felszín, Egyéb sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/február: Gy.2539

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A területfelező egyenesek metszéspontjainak a sokszög belsejében kell lenniük, mert ellenkező esetben az egyik félegység területű síkidom része lenne egy másik, ugyancsak félegység területű síkidomnak (1. ábra).

1. ábra

Az egyenesek tehát hét részre osztják a konvex sokszöget. Jelöljük az egyes részek területét a 2. ábrán látható módon

T_{0}, T_{1},..., T_{6}

-tal.

2. ábra

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, vagyis

\begin{matrix} T_{0} > \frac{1}{4} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

\begin{matrix} T_{2} + T_{3} < T_{1} + T_{2} + T_{3} = \frac{1}{2} - T_{0} < \frac{1}{4}, \end{matrix}

Mivel

T_{2} + T_{3} + T_{4} = \frac{1}{2}

, ezért

T_{4} = \frac{1}{2} - (T_{2} + T_{3}) > \frac{1}{4} .

Ekkor viszont

T_{0} + T_{4} > \frac{1}{2} = (T_{0} + T_{4}) + (T_{3} + T_{5})

, ami nyilvánvaló ellentmondás; tehát hibás a feltevésünk.
Ezzel feladatunk állítását bebizonyítottuk.

Csörnyei Mariann (Bp., Budenz úti Ált. Isk., 7. o. t.)