Feladat: Gy.2538 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balogh József ,  Harcos G. ,  Kovács T. ,  Podoski Károly ,  Tokodi T. 
Füzet: 1989/november, 392 - 393. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Trapézok, Diszkusszió, Körérintési szerkesztések, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1989/február: Gy.2538

Az ABCD konvex négyszögben C-nél és D-nél derékszög van. Szerkesszük meg a CD oldalon azt a P pontot, amelyre APD=2BPC.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Állítsunk a P pontban merőlegest a CD oldalra, s tükrözzük erre az egyenesre A-t; legyen a tükörkép A''. Az A pont CD egyenesre vonatkozó tükörképe pedig legyen A'. Mivel az A pontot két egymásra merőleges tengelyre tükröztük, ezért a két tükörkép ‐ A' és A'' ‐ valamint a tengelyek metszéspontja ‐ P ‐ egy egyenesbe esik.

 
 

Feltételünk, valamint a tükrözés szögtartósága miatt
2BPC=APD=A''PC,
vagyis a CPA'' szögnek a BP egyenes éppen a szögfelezője. A szögfelező pontjai a szög mindkét szárától egyenlő távolságra vannak. Mivel a BCD szög derékszög, ezért a B pont a PA'' egyenestől is éppen BC távolságra van, azaz az A'PA'' egyenes érinti a B középpontú, BC sugarú kört. Az érintő és a CD szakasz metszéspontja a keresett P pont. Ez a P pont nyilván eleget is tesz a feladat feltételeinek.
Ha BC<CD, akkor mindig 1 megoldás van (az A' pontból a körhöz húzható két érintő egyike nem a CD szakaszt, hanem annak C-n túli meghosszabbítását metszi), míg BCCD esetén nincs megoldás.
 

 Balogh József (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)
 dolgozata alapján