Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy a sorozat tagjai páratlanok, hiszen $a_1=3$, és a többi tag egy páratlan és egy páros szám különbségeként áll elő. Ezért a legnagyobb közös osztóként is csak páratlan szám adódhat.
Legyen $a_n$ és $a_k$ a sorozat tetszőleges két különböző eleme és tegyük fel, hogy $n<k$. $k$-ra vonatkozó teljes indukcióval bizonyítjuk, hogy $a_n$ tetszőleges $p$ (páratlan) osztójával elosztva $a_k$-t, maradékul $+2$-t vagy $-2$-t kapunk. $k=n+1$ esetén $a_{n+1}=a_n^2-2$ jobb oldalán az első tag osztható $p$-vel, és így a jobb oldal $p$-vel osztva $-2$-t ad maradékul.
A többi elemnél $2$ a maradék. Az indukciós feltevés alapján $a_k=pc\pm 2$ alakú ($-2$ a $k=n+1$ esetben lép fel). Ekkor $a_{k+1}=a_k^2-2={\left(pc\pm 2\right)}^2-2=$ $=\left(p{c}^2\pm 4c\right)p+2$, ami igazolja az állításunkat. $p$ páratlansága alapján csak úgy lehet osztója $a_k$-nak is, ha osztója $2$-nek is; tehát $p=1$.