I. megoldás. A feladat szövege szerint minden olyan esetben kell a harmadik egyenletnek olyan gyökét találni, amely $x_1$ és $y_1$ közé esik, amikor ezek az első két egyenletnek gyökei. A lehetőségek vizsgálata céljából határozzuk meg az első két egyenlet gyökeinek a nagyságrendi viszonyát.
A gyökök és az együtthatók közötti összefüggéseket fogjuk megnézni. $b$ pozitivitása miatt mindhárom egyenlet esetében a gyökök szorzata pozitív, tehát azonos előjelűek (a harmadik egyenletnél még nem tudjuk, vannak-e gyökök). Ezt a megfigyelést $a$ pozitivitásával egybevetve azt kapjuk, hogy a második egyenlet gyökeinek az összege pozitív, ezek tehát pozitívak. A másik két egyenlet esetében a gyökök összegének negativitásából a gyökök negativitása következik.
Ezek szerint a második egyenlet mindkét gyöke nagyobb az első egyenlet gyökeinél. Ha tehát találunk a harmadik egyenletnek olyan gyökét, amely a második egyenlet kisebb és az első egyenlet nagyobb gyöke közé esik, akkor ez a gyök egyszerre megfelel minden lehetséges esetnek. Ilyen gyököt pedig kell találnunk (ha a feladat állítása igaz), mert ez az eset is egyike a felsorolható négy lehetőségnek.
Mindenekelőtt megállapíthatjuk, hogy a harmadik egyenlet gyökei mint negatív számok biztosan kisebbek a második egyenlet gyökeinél, amelyek pozitívak. Elég tehát azt belátni, hogy a harmadik egyenletnek van olyan gyöke, amelyik nagyobb az első egyenlet nagyobbik gyökénél. Ha van ilyen gyök, akkor persze a nagyobbik gyök is ilyen; ezért feladatunk most már csak annak a bizonyítása, hogy a harmadik egyenlet nagyobbik gyöke nagyobb az első egyenlet nagyobbik gyökénél.
Az első egyenlet nagyobbik gyöke $\frac{-a+\sqrt[]{a^2-4b}}{2}$ (ez esetleg meg is egyezhet a ,,kisebbik'' gyökkel). A gyök létezéséből következik, hogy az egyenlet diszkriminánsa nem negatív, így $a^2-2b=\left(a^2-4b\right)+2b$ biztosan pozitív. Ez a szám a harmadik egyenlet diszkriminánsának a negyede; tehát a harmadik egyenletnek van gyöke. Ezek közül a nagyobbik $\frac{-2a+\sqrt[]{4a^2-8b}}{2}$. A bizonyítandó egyenlőtlenség tehát: