Kezdőlap


Feladat:	Gy.2521	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1989/szeptember, 262 - 263. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/december: Gy.2521

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alsó becsléseket keresünk $S$ értékére, majd a nevezők ( $b$ és $d$ ) lehetséges értékei szerint vizsgáljuk a különböző eseteket. Nyilván föltehető, hogy $b \leq d$ .
Ekkor

\begin{matrix} S ≧ 1 - \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{b - (a + c)}{b} ≧ \frac{b - 1987}{b}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} S ≧ \frac{b - 1987}{b} . \end{matrix}

(1)

Feltételünk szerint

\begin{matrix} S = 1 - \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{b d - a d - b c}{b d} > 0. \end{matrix}

A számláló pozitív egész, értéke legalább

1

, így

\begin{matrix} S ≧ \frac{1}{b d} . \end{matrix}

(2)

Tekintsük ezután

S

-et a következő alakban:

\begin{matrix} S = (1 - \frac{a}{b}) - \frac{c}{d} = \frac{b - a}{b} - \frac{c}{d} . \end{matrix}

A kisebbítendő pozitív, így számlálója legalább

1, c

pedig legfeljebb

1987

, ezért

\begin{matrix} S ≧ \frac{1}{b} - \frac{1987}{d} . \end{matrix}

(3)

Ha most

b ≧ 1988

, akkor (1) jobb oldala pozitív és

b

-ben monoton növő, így ebben az esetben

\begin{matrix} S ≧ \frac{1}{1988} > \frac{1}{1988^{3}} . \end{matrix}

b d < 1988^{3}

, akkor (2) szerint

\begin{matrix} S > \frac{1}{1988^{3}} . \end{matrix}

Végül, ha

b < 1988

és

b d ≧ 1988^{3}

, akkor

d > 1988^{2}

, tehát (3) miatt

\begin{matrix} S > \frac{1}{1987} - \frac{1987}{1988^{2}} > \frac{1}{1987} - \frac{1}{1988} = \frac{1}{1987 \cdot 1988} > \frac{1}{1988^{2}} > \frac{1}{1988^{3}} . \end{matrix}

Minden lehetséges esetet megvizsgáltunk, így a bizonyítást befejeztük.

Megjegyzések. 1. Könnyen látható, hogy a fenti bizonyítás

1988

helyett tetszőleges pozitív egész

N

-re is elmondható.
2. A feladat becslése távolról sem éles. Az American Mathematical Monthly 1987 decemberi számában olvasható bizonyítás szerint ha

a + c = N

, akkor

\begin{matrix} min S = {(⌊ \frac{2 N}{3} + 1 ⌋ \cdot (⌊ \frac{2 N}{3} + 1 ⌋ \cdot ⌈ \frac{N}{3} ⌉ + 1))}^{- 1} . \end{matrix}