Kezdőlap


Feladat:	Gy.2519	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/május, 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számfogalom bővítése, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/december: Gy.2519

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $α$ jelöli a szóban forgó közös gyököt, akkor ez a két egyenlet különbségének is gyöke, így

\begin{matrix} (p_{1} - p_{2}) α = q_{1} - q_{2} . \end{matrix}

(1)

Ismeretes, hogy egy egész együtthatós polinom racionális gyökének egyszerűsített alakjában a nevező osztója a legmagasabb fokú tag együtthatójának. Esetünkben ez az együttható 1, így a megadott polinomok racionális gyökei egész számok. A közös gyök tehát nem lehet racionális, hiszen a feltétel szerint nem egész.
Mivel (1)-ben

p_{1} - p_{2}

és

q_{1} - q_{2}

egész számok,

α

pedig irracionális, csak

p_{1} - p_{2} = 0

, és így

q_{1} - q_{2} = 0

lehetséges, és ezt akartuk bizonyítani.