Kezdőlap


Feladat:	Gy.2512	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/május, 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/november: Gy.2512

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételben $x = 0$ -t helyettesítve

\begin{matrix} 0 = (- 12) \cdot p (0), \end{matrix}

tehát a polinomnak gyöke a nulla. A feltételből az is látható, hogy ha

(α - 1)

gyöke a keresett polinomnak ─ akkor a bal oldal nulla ─ és ha

α \neq 12

, akkor a jobb oldalon

p (α) = 0

, tehát

α

is gyök. A

0

-val együtt tehát az

1

2

...

, 11 számok is gyökök, így a megfelelő gyöktényezők kiemelése után

\begin{matrix} p (x) = x (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot ... \cdot (x - 11) \cdot q (x) . \end{matrix}

A talált alakot a feltételbe írva, majd

x (x - 1) ... (x - 12)

-vel egyszerűsítve azt kapjuk, hogy például minden

12

-nél nagyobb

x

-re

\begin{matrix} q (x) = q (x - 1), \end{matrix}

ezért minden ilyen

x

-re

\begin{matrix} q (x - 1) = q (x) = q (x + 1) = q (x + 2) + ...; \end{matrix}

q

polinom tehát például a

q (12)

értéket végtelen sokszor veszi fel, és így konstans. Értékét

c

-vel jelölve

\begin{matrix} p (x) = c \cdot x (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot ... \cdot (x - 11), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} p (12) = c \cdot 12!, vagyis c = 1. \end{matrix}

Ezzel azt láttuk be, hogy ha a

p (x)

polinomra mindkét megadott feltétel teljesül, akkor csak a

\begin{matrix} p (x) = x (x - 1) \cdot ... \cdot (x - 11) \end{matrix}

lehetséges.
Könnyen látható, hogy erre a polinomra valóban teljesülnek a feladat feltételei.