Kezdőlap


Feladat:	Gy.2511	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/április, 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szorzat, hatványozás azonosságai, Exponenciális egyenletek, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/november: Gy.2511

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha $x$ és $y$ tetszőleges pozitív egész számok, akkor (1) pontosan akkor teljesül, ha $x = y$ . Azt fogjuk bebizonyítani ‐ és ez nyilván elég ‐ hogy ha $x \neq y$ , akkor

\begin{matrix} x^{y} + y^{x} < x^{x} + y^{y} . \end{matrix}

(2)

Föltehető, hogy például

x < y

. Ekkor

\begin{matrix} 0 < x^{x} < y^{x} és \\ 0 \leq x^{y - x} - 1 < y^{y - x} - 1. \end{matrix}

A két egyenlőtlenséget összeszorozva

\begin{matrix} x^{x} (x^{y - x} - 1) < y^{x} (y^{y - x} - 1), \end{matrix}

ahonnan rendezés után éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.

Megjegyzés. A bizonyítás során az

x

és

y

számokról csupán annyit használtunk fel, hogy ezek egyike sem kisebb

1

-nél.