Feladat: Gy.2511 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1989/április, 171. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szorzat, hatványozás azonosságai, Exponenciális egyenletek, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/november: Gy.2511

Mely x, y pozitív egész számokra teljesül az alábbi egyenlet:
xy+yx=xx+yy?(1)


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha x és y tetszőleges pozitív egész számok, akkor (1) pontosan akkor teljesül, ha x=y. Azt fogjuk bebizonyítani ‐ és ez nyilván elég ‐ hogy ha xy, akkor

xy+yx<xx+yy.(2)
Föltehető, hogy például x<y. Ekkor
0<xx<yxés0xy-x-1<yy-x-1.


A két egyenlőtlenséget összeszorozva
xx(xy-x-1)<yx(yy-x-1),
ahonnan rendezés után éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.
 

Megjegyzés. A bizonyítás során az x és y számokról csupán annyit használtunk fel, hogy ezek egyike sem kisebb 1-nél.