Kezdőlap


Feladat:	Gy.2510	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Stiffel Attila
Füzet:	1989/május, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Halmazelmélet, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/november: Gy.2510

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy véges $M$ halmaz elemszámát $M$ -mel jelöljük, akkor a keresett $a$ átlagéletkor:

\begin{matrix} a = \frac{37 | X | + 23 | Y | + 41 | Z |}{| X | + | Y | + | Z |} . \end{matrix}

(1)

X \cup Y

és az

X \cup Z

csoportokról tudjuk, hogy

\begin{matrix} 29 = \frac{37 | X | + 23 | Y |}{| X | + | Y |}, \end{matrix}

(2)

illetve

\begin{matrix} 39,5 = \frac{37 | X | + 41 | Z |}{| X | + | Z |}, \end{matrix}

(3)

(2)-ből és (3-ból) rendezés után

\begin{matrix} | Y | = 4 / 3 | X | és | Y | = 5 / 3 | X | . \end{matrix}

Ezt (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} a = \frac{| X | (37 + 23 \cdot 4 / 3 + 41 \cdot 5 / 3)}{| X | (1 + 4 / 3 + 5 / 3)} = 34. \end{matrix}

X \cup Y \cup Z

csoportban tehát 34 év az emberek átlagéletkora.

Megjegyzés. A megoldás során nem használtuk fel azt, hogy mennyi az

Y \cup Z

csoport tagjainak átlagos életkora. Ez azonban nem túl meglepő, mivel a feladatban közölt adatok nem függetlenek egymástól.
Könnyen megmutatható ugyanis, hogy ha az

X

Y

Z

X \cup Y

Y \cup Z

Z \cup X

csoportok átlagéletkorát rendre

a_{x}

a_{y}

a_{z}

a_{x y}

a_{y z}

a_{z x}

jelöli, akkor fenn kell állnia az

\begin{matrix} (a_{x} - a_{x y}) (a_{y} - a_{y z}) + (a_{z} - a_{z x}) (a_{y} - a_{x y}) + (a_{z} - a_{y z}) (a_{x} - a_{z x}) = 0 \end{matrix}

egyenlőségnek.

Stiffel Attila (Bp., Apáczai Cs. J. Gyak. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján