Feladat: Gy.2510 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Stiffel Attila 
Füzet: 1989/május, 212 - 213. oldal  PDF file
Témakör(ök): Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Halmazelmélet, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/november: Gy.2510

Három embercsoport X, Y, Z közül semelyik kettőnek sincs közös tagja. Az alábbi táblázat az X, Y, Z, XY, XZ és YZ csoport tagjainak átlagos életkorát tartalmazza években:
 
Csoport X Y Z XY XZ YZ   Átlagéletkor 37 23 41 29 39,5 33   
 
Mennyi az XYZ csoport tagjai életkorának átlaga?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egy véges M halmaz elemszámát M-mel jelöljük, akkor a keresett a átlagéletkor:

a=37|X|+23|Y|+41|Z||X|+|Y|+|Z|.(1)
Az XY és az XZ csoportokról tudjuk, hogy
29=37|X|+23|Y||X|+|Y|,(2)
illetve
39,5=37|X|+41|Z||X|+|Z|,(3)
(2)-ből és (3-ból) rendezés után
|Y|=4/3|X|és|Y|=5/3|X|.
Ezt (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy
a=|X|(37+234/3+415/3)|X|(1+4/3+5/3)=34.
Az XYZ csoportban tehát 34 év az emberek átlagéletkora.
 

Megjegyzés. A megoldás során nem használtuk fel azt, hogy mennyi az YZ csoport tagjainak átlagos életkora. Ez azonban nem túl meglepő, mivel a feladatban közölt adatok nem függetlenek egymástól.
Könnyen megmutatható ugyanis, hogy ha az X, Y, Z, XY, YZ, ZX csoportok átlagéletkorát rendre ax, ay, az, axy, ayz, azx jelöli, akkor fenn kell állnia az
(ax-axy)(ay-ayz)+(az-azx)(ay-axy)+(az-ayz)(ax-azx)=0
egyenlőségnek.
 

Stiffel Attila (Bp., Apáczai Cs. J. Gyak. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján