Kezdőlap


Feladat:	Gy.2503	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/április, 168 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, ( x + 1/x ) > = 2 ( x > 0 ), Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/október: Gy.2503

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egyenlet bal oldala pozitív, így $x$ és $y$ egyike sem nulla. Mindkét oldalt $4 x y$ -nal osztva az eredetivel ekvivalens

\begin{matrix} (4 x + \frac{1}{4 x}) (y + \frac{1}{y}) = 4 \end{matrix}

(1)

egyenlethez jutunk. Ismeretes, hogy minden

a

valós számra

| a + \frac{1}{a} | \geq 2

, és csak akkor van egyenlőség, ha

a = \pm 1

. Eszerint (1) bal oldalán mindkét tényező abszolút értéke legalább

2

, így az egyenlőséghez

| 4 x | = | y | = 1

szükséges, valamint az, hogy (1) bal oldalán a két tényező előjele azonos legyen.
Innen két megoldás adódik:

4 x = y = 1

-ből

x = \frac{1}{4}

és

y = 1, 4 x = y = - 1

-ből pedig

x = - \frac{1}{4}

és

y = - 1

. Látható, hogy mindkét számpár megoldása a feladatnak.

II. megoldás. Az egyenlet bal oldalán a beszorzást elvégezve, rendezés után írjuk fel a kapott kétváltozós polinomot

x

hatványai szerint:

\begin{matrix} 16 (y^{2} + 1) x^{2} - 16 y x + (y^{2} + 1) = 0. \end{matrix}

(2)

Mivel

16 (y^{2} + 1)

pozitív, (2) bal oldala pontosan akkor nulla, ha

\begin{matrix} x^{2} - \frac{y}{y^{2} + 1} x + \frac{1}{16} = 0. \end{matrix}

(3)

Adott

y

esetén tehát

0, 1

vagy

2

olyan

x

létezik, amelyre az

(x, y)

számpár megoldása az egyenletnek, attól függően, hogy a paraméteres (3) egyenlet

D (y)

,,diszkriminánsa'' negatív, nulla vagy pozitív.

D (y)

két négyzet különbségeként szorzattá alakítható:

\begin{matrix} D (y) & = {(\frac{y}{y^{2} + 1})}^{2} - \frac{1}{4} = (\frac{y}{y^{2} + 1} + \frac{1}{2}) (\frac{y}{y^{2} + 1} - \frac{1}{2}) = \\ = \frac{2 y + y^{2} + 1}{2 (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y - (y^{2} + 1)}{2 (y^{2} + 1)}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} D (y) = \frac{{(y + 1)}^{2}}{2 (y^{2} + 1)} \cdot (- \frac{{(y - 1)}^{2}}{2 (y^{2} + 1)}) = - {(\frac{y^{2} - 1}{2 (y^{2} + 1)})}^{2} . \end{matrix}

Azt kapjuk, hogy

D (y)

egy teljes négyzet ellentettje, és így nem lehet pozitív. Az

y

-nak pontosan azokra az értékeire kapunk megoldást, amelyekre

D (y) = 0

, azaz

\begin{matrix} \frac{y^{2} - 1}{2 (y^{2} + 1)} = 0; \end{matrix}

ez pontosan akkor teljesül, ha

y = \pm 1

. Ha

y = 1

, akkor (3) szerint

\begin{matrix} x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = {(x - \frac{1}{4})}^{2} = 0, x = \frac{1}{4}, \end{matrix}

míg

y = - 1

esetén

\begin{matrix} x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = {(x + \frac{1}{4})}^{2} = 0 x = - \frac{1}{4} . \end{matrix}

Az egyenletnek tehát két megoldása van: az

(\frac{1}{4};