Kezdőlap


Feladat:	Gy.2498	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/február, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Pont körüli forgatás, Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Négyzetek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/szeptember: Gy.2498

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keletkezett négyszög csúcsait az ábrán látható módon $E$ , $F$ , $G$ , $H$ -val, az eredeti négyzet középpontját pedig $O$ -val. Az $O$ körüli $90^{\circ}$ -os elforgatás az $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ pontokat rendre a $B$ , $C$ , $D$ , $A$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ , $A'$ pontokba viszi, tehát pl. az $A A'$ és $B B'$ szakaszok $F$ metszéspontját a $B B'$ és $C C'$ szakaszok $G$ metszéspontjába viszi. Ugyanígy látható be, hogy ennél a forgatásnál a $G$ , $H$ , $E$ pontok képe rendre $H$ , $E$ és $F$ , tehát az $E F G H$ négyszög képe önmaga. Ez viszont azt jelenti, hogy az $E F G H$ négyszög négyzet, és a középpontja $O$ .

A négyzet területének kiszámításához elegendő egy oldalának hosszát meghatároznunk. Az

A B A'

derékszögű háromszögben

B F

éppen az

A A'

átfogóhoz tartozó magasság (hiszen

E F G ∢ = 90^{\circ}

), tehát az

A B A'

A F B

és

B F A'

háromszögek hasonlóak. Ezért a háromszögek megfelelő oldalainak aránya egyenlő:

\begin{matrix} \frac{F A}{A B} = \frac{A B}{A A}, \end{matrix}

azaz ‐ felhasználva, hogy Pitagorasz tétele miatt

A A' = \sqrt[]{1^{2} + {(\frac{2}{5})}^{2}}

‐

\begin{matrix} F A = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt[]{\frac{29}{25}}} = \frac{5 \sqrt[]{29}}{29} . \end{matrix}

Másrészt:

\begin{matrix} \frac{F B}{B A'} = \frac{A B}{A A'}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} F B = \frac{\frac{2}{5} \cdot 1}{\sqrt[]{\frac{29}{25}}} = \frac{2 \sqrt[]{29}}{29} . \end{matrix}

F B = A E

, ezért a kis négyzet oldala:

\begin{matrix} E F = F A - F B = \frac{3 \sqrt[]{29}}{29} . \end{matrix}

tehát a kis négyzet területe

\frac{9}{29}

Megjegyzés. Teljesen hasonló módon oldhatjuk meg azt az általánosabb feladatot is, ahol az eredeti négyzet minden oldalát

n

egyenlő részre osztjuk, és minden oldalon a

k

-adik osztópontot választjuk ki. Ebben az esetben a kis négyzet területe:

\begin{matrix} T = \frac{{(n - k)}^{2}}{n^{2} + k^{2}} . \end{matrix}