Feladat: Gy.2496 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Újváry-Menyhárt Zoltán 
Füzet: 1989/február, 67. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvények, Kombinációk, Lottó, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/szeptember: Gy.2496

Hányféleképpen tölthető ki egy lottószelvény úgy, hogy a megjelölt 5 szám összege legalább 228 legyen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nevezzük egy a szám tükörképének azt a b számot, amelyre

a+b=91,
egy lehetséges lottó-kitöltés tükörképének pedig a megjelölt öt szám tükörképeiből álló számötöst. Mivel bármelyik lottószám (90-nél nem nagyobb pozitív egész) tükörképe is lottószám, különböző számok tükörképei pedig különbözők, ezért minden lottókitöltés tükörképe is lottókitöltés.
Egy kitöltés és a tükörképe biztosan különbözők, hisz a bennük megjelölt számok összege 591=455=2227+1, ami páratlan szám. A 455 fenti felbontásából az is látható, hogy egy kitöltés és a tükörképe közül pontosan az egyikben lesz nagyobb 227-nél a megjelölt öt szám összege.
A tükörkép szerinti párbaállítás tehát két egyenlő elemszámú osztályba sorolja a lehetséges (905) darab lottókitöltést úgy, hogy az egyik osztály minden tagjára legalább 228 a megjelölt öt szám összege, a másik osztály tagjaira legfeljebb 227 ez az összeg. Így (905):2=21974634 -féleképpen tölthető ki az előírt módon egy lottószelvény.
 

 Újváry-Menyhárt Zoltán (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)